高等数学（二） 多元函数的偏导数 PPT课件.ppt

文档介绍：§1-3 多元函数的偏导数
在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.
则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),
我们可用讨论一元
函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.
一、偏导数的定义
设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量x . 相应函数增量记作
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.
定
义
则称这个极限值为 z = f (x, y) 在(x0, y0) 处对 x 的偏导数.
即
此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.
类似, 若固定 x = x0, 而让 y 变, z = f (x0, y)成为 y 的一元函数.
则称它为z = f (x, y) 在(x0, y0) 处对 y 的偏导数.
即
若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点(x, y) 处时x的偏导数都存在, 即(x, y)D,
存在.
此时, 它是 x, y的二元函数. 称为 z 对 x 的偏导函数. 简称偏导数.
类似定义 z 对 y 的偏导函数.
, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函数来定义的.
注
因此,在实际计算时, 求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.
求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.
'x (x0, y0) 就是 f 'x (x, y) 在点(x0, y0)的值.
算 f 'x (x0, y0)
可用3种方法.
f 'y (x0, y0)
f 'y (x, y)
f 'y (x0, y0)
(1) 用定义算.
(2) 先算 f 'x (x, y), 再算 f 'x (x0, y0)
f 'y (x, y),
f 'y (x0, y0).
(3)先算 f (x, y0), 再算 f 'x (x, y0) 再算 f 'x (x0, y0)
f (x0, y),
f 'y (x0, y),
f 'y (x0, y0).
例1.
解:
或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,
f 'x(x, 2) = 2x + 6,
故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.
例2.
解: