文档介绍：多元函数的偏导数和全微分
偏导数的概念与计算
对于二元函数,如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数对于x的偏导数。
定义:设函数在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量
如果极限存在, 则称此极限为函数在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作:,,,或。
即:.
类似地,函数在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为:
,
记作:,,,或。
偏导函数:如果函数在区域D内每一点处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数对自变量的偏导函数, 记作
, , , 或。
偏导函数的定义式:.
类似地, 可定义函数对y的偏导函数, 记为
, , ,或。
偏导函数的定义式:.
求时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数;求时, 只要把x暂时看作常量而对y求导数。
讨论:下列求偏导数的方法是否正确?
,,
,。
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为
,
其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.
例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数.
解, ., .
例2 求z=x2sin 2y的偏导数。
解;。
例3 设, 求证: .
证, .
.
例4 求的偏导数。
解;。
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),
求证: .
证因为, ;
, ;
, ;
所以.
例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商。
一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率,那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢?我们知道,二元函数在空间中表示一曲面,在处对求偏导时把看成常量,这时是关于的一元函数,所以表示曲面与平面的交线在处沿轴正向的切线斜率(如图).同理,表示曲面在该点处沿轴正向的切线斜率.
对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如
在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.
提示: , ;
, .
当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, 有
;
当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有
.
因此, 不存在, 故函数f(x, y)在(0, 0)处不连续.
全微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
偏增量与偏微分:,
为函数对x的偏增量, f x(x, y)Dx为函数对x的偏微分;
,
为函数)对y的偏增量,为函数对y的偏微分。
全增量:
计算全增量比较复杂, 我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之.
定义如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量
可表示为
,
其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即
如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分.
可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.
这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则
Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),
于是,
从而.
因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续.
定理1(必要条件)
如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导数、必定存在, 且函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为:。
证设函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微分. 于是, 对于点P的某个邻域内的任意一点P ¢(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特别当Dy=0时有
f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|)
上式两边各除以Dx,再令Dx®0而取极限,就得
,
从而偏导数存在, 且.
同理可证偏导数存在, 且.
所以:.
偏导数、存在是可微