2多元函数的偏导数和全微分.ppt

文档介绍：一、偏导数的概念
二、连续与偏导数存在的关系
三、高阶偏导数
四、可微与偏导数的关系
第二节多元函数的偏导数和全微分
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在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.
则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),
我们可用讨论一元
函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.
一、偏导数的定义
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设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量x . 相应函数增量记作
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.
定
义
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则称这个极限值为 z = f (x, y) 在(x0, y0) 处对 x 的偏导数.
即
此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.
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z = f (x, y) 在(x0, y0) 处对 y 的偏导数.
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z 对 x 的偏导函数(简称偏导数)
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, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) ,在实际计算时,
注
求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.
求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.
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三种方法:
(1) 用定义计算.
(2) 先计算再代值得.
(3) 先计算再计算再
计算.
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例1
解
或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,
f 'x(x, 2) = 2x + 6
故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.
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例2
解
例3
解
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