文档介绍：例. 非均匀分布立体的质量
设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度× 的体积.
若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方式算质量M .
设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度(x , y , z)连续, 求的质量 M.
第二节三重积分
一、三重积分的概念及性质
(i) 将分成 n 个小立体1, 2,…, n ,
记Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, …, n.
由于(x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在i上(x , y , z) 的变化不大. 可近似看作不变.
(ii) 即, ( i , i , i) Di , 以( i , i , i )作为 i 的体密度. 从而, i的质量
mi ( i , i , i) V i
(iii) 因此, 的质量
(iv)
设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上的有界函数.
将任意分成 n 个无公共内点的小区域i, (i =1, 2, …, n), 用Vi表示i的体积. 并记
如果对任意的分法和任意的取法, 当0时, 和式
则称 f (x, y, z)在
上可积, 记为f (x, y, z)R(),
定义1
并称此极限值I为f (x, y, z)在上的三重积分, 记作
其中“”称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z)称为被积函数, dv称为体积元素, 三重积分也记为
即
三重积分的性质与二重积分性质完全类似, 比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上可积; 常数因子可从积分号中提出来; 和的积分等于积分之和;积分的可加性; 积分的保号性; 积分中值定理等.
.
类似于二重积分, 三重积分可化为三个定积分计算(三次积分).
设是R3中一母线平行于z 轴, 上, 下底分别为 z = z2(x, y), z = z1(x, y)的柱体. 在xy面上的投影区域记为Dxy .
如图
0
y
z
x
z2 = z2(x,y)
Dxy
b
a
z1 = z1 (x,y)
二、三重积分的计算
则
为x—型区域)
0
y
z
x
z2 = z2(x,y)
Dxy
b
a
z1 = z1(x,y)
y=y1(x)
y=y2(x)
即为y—型区域.
则
应用时先画出的草图, 看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面. 确定最里层积分上, 下限.
然后到Dxy上作二重
口诀:从里到外, 面—面, 线—线, 点—点.
积分.
注:1. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 y 轴, 它在xz面上的投影区域为Dxz,
则可选择先对 y 积分, 然后到Dxz上作二重积分.
2. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 x 轴, 它在yz面上的投影区域为Dyz, 则可选择先对x 积分, 然后到Dyz上作二重积分.