并矢与张量-课件PPT（演示稿）.ppt

文档介绍：并矢与张量许福永老师许福永老师基地班附加内容基地班附加内容??两矢量相并称为并矢,其并矢式为两矢量相并称为并矢,其并矢式为基并矢基并矢, , 故故并矢的并矢的矩阵式为 1 并矢与张量(Dyad and Tensor) 3333 21211111eeeeee ABBA BABA????????????????????????? ji jijijj jii iBABA ,eeee ijjieeee? BA AB ??????????????? 332313 322212 312111BABABA BABABA BABABABA ji AB 1 并矢与张量并矢的并矢式和矩阵式的差别在于有无并矢的并矢式和矩阵式的差别在于有无基并矢。基并矢。根据物理量在空间转动时的坐标变换性质,可将其分为标量、矢量、张量等。若一个物理量在空间无取向,坐标系转动即坐标变换时,其值不变,称它为标量。若一物理量在空间有一定的方向, 可用三个分量表示,坐标变换时,三个分量按同一方式变换,称它为矢量,可?用一行矩阵或列矩阵表示。若一个物理量有复杂的空间取向性质,可用 9 个分量表示,坐标变换时,九个分量按同一规律变换,称它为二阶张量,简称为张量。这由任一面上的应力张量而得名,其它具有这种性质的物理量也都称为张量。在三维坐标系中, n 阶张量有个分量。在四维坐标系中, n 阶张量有个分量。在m维坐标系中, n阶张量有个分量。. 并矢与张量 n4 n3 nm 因此,标量为零阶张量,矢量是一阶张量。二阶以上的高阶张量很少用到。注意,并矢和张量用粗黑斜体,在书写时,并矢写成,张量写成或。并矢是张量的特殊形式,并矢可写成张量,但张量不一定恰好是并矢。常用的张量有: 对称张量, 用表示有 6个独立分量。 1 并矢与张量??BA ?? T ?T ijjiTT? ST 1 并矢与张量反对称张量, 用表示,只有 3个独立分量。单位张量或矢量的梯度是并矢 ijjiTT?? AT???????????100 010 001IIeeeeR??????????????????? i ii ij jjji ixxx )( 332211eeeeeeI?????张量或并矢的加减和数乘与矢量运算相同。点张量或并矢的加减和数乘与矢量运算相同。点乘和叉乘都分为左右点乘与叉乘。乘和叉乘都分为左右点乘与叉乘。相邻的矢量相点乘或叉乘。点乘后张量的总阶数降二阶。点乘后张量的总阶数降二阶。左(前) 点乘: 右(后) 点乘: 2 张量的运算与分析 BAC AB C)()(???)()(CBAC AB??????????????????????????? kji kjikji kj kjkji iiTA TA ,,,eeeeeeTA???????????????????????? kji kjikji k kk ji jijiATA T ,, ,eeeeeeAT 2 张量的运算与分析左右点乘不相等。点乘用矩阵式运算方便。叉乘后张量的总阶数降一阶。叉乘后张量的总阶数降一阶。左(前) 叉乘: 右(后) 叉乘: AD CB CD AB)()()(????? jkkiUT??UTTUUT???BAC AB C)()(???)()(CBAC AB??????????????????????????? kji kjikji kj kjkji iiTA TA ,,,eeeeeeTA ATTA???叉乘用并矢式运算方便。双点乘降四阶, 即矢量的梯度是并矢,张量的阶数升一阶矢量的梯度是并矢,张量的阶数升一阶 2 张量的运算与分析???????????????????????? kji kjikji k kk ji jijiATA T ,, ,eeeeeeAT) )(()(:)(DACB CD AB??? j iji ii j j jji ix A Ax eeeeA??????????????????,与并矢点乘,并矢降一阶为矢量,即与并矢叉乘,仍为并矢。式中第二项 A 与换位,点乘时第二项与第一项同号,叉乘时异号。 2 张量的运算与分析 BABA AB)()()(?????????????? ji ji jix T ,eTBABA AB AB AB)()()()()( B A B A??????????????BABA??????)(???