文档介绍：变换
连续小波变换
连续小波变换是信号时-频分析的另一种重要工具。它的时频窗在低频时自动变宽，而在高频时自动变窄，具有自动变焦作用。结果，在很暂短的高频现象上，小波变换能比窗口Fourier变换更好地”移近”观察。
对于小波函数ψ(t) ，函数的连续小波变换为
也常记为上面用到了
小波变换的计算
注意第2讲中函数的卷枳定义
记，连续小波变换可写为卷积
其中
证明事实上，由卷积的定义，得
再注意，即可得证。
小波变换性质
定理设ψ是小波而，则
(线性)
(平移)
其中是平移算子。
(3)(伸缩)
其中是伸缩算子。
小波变换性质(续)
(4) (对称性)
(5)(奇偶性)
其中P是反射算子(奇偶算子)
(6)(反线性性)
(7)(小波平移)
(8)(小波伸缩)
小波重构
如果ψ是一个基小波，则有Parseval恒等
式
以及重构公式
上面讨a的积分是从负无穷到正无穷的。由于a代表频率的变化，这时有正频率也有负频率。在信号分析中，我们只考虑正频率。
小波重构(续)
由伸缩因子a 对频率的影响可以看到，频率变量ω是膨账参数a 的倒数的正的常数倍，例如，写为，其中是的中心(假定总是正的)，这样，我们只需考虑a的正值。
在连续小波变换重构f 中，现在只允许使用值。这时，对小波ψ还需加上进一步的限制
小波重构(续2)
定理令ψ是满足上述条件(1)的基小波，那么
对所有成立。进而,对于任何
和在f 的连续点，有
附注定理的证明完全类似于不限制a的情形,只需注意
不同小波的重构公式
上面重构公式与Parseval恒等式要求f,g 的小波变换都是对同一小波进行的。如使用不同小波进行变换，容许性条件变为
这时的Parseval恒等式是
重构公式是
这时要对加上较多条件: , 是可微的,且并且
小波生成方法
Gauss小波和Mexic帽小波是Gauss函数的一、二阶导数生成的。这样由光滑函数的导数得到小波函数的作法对一般情形也成立。设θ(t)是光滑函数，满足则就一定是小波函数，因为
如果ψ(t)是满足容许性条件的基小波，则由下述定理可以构造更多的基小波。
定理如果ψ是一个基小波，是一个有界可积函数，那么卷积是基小波。