文档介绍：矩阵的相似变换 1特征值与特征向量 2二特征值与特征向量的性质三相似矩阵的相关概念四对称矩阵的对角化一特征值与特征向量? 定义设A是一个 n阶的方阵, 若对数, 存在非零 n维向量 x,使 Ax= x 成立, 则称是A的特征值, x是A的属于的特征向量。?注1 特征值问题是对于方阵而言的。注 2 特征向量必须是非零向量特征值与特征向量的求法(1)若 A= 为具体矩阵(即具体给出)求解步骤为: ? x nn ija ?)( nn ija ?)( ??????nn ija ?)( 第一步:求出方程的所有根,即为 A的全部特征值第二步:对每个不同的,解其次方程组( A =0,求出一个基础解系即为 A的属于的线形无关特征向量。则为 A的属于的全部特征向量。注 1 称为A的特征多项式,其为的n次多项式。称为 A的特征方程,其在复数域内必有n个根(包括重根) ,,,, 21i kiii???? nn ija ?)(0??IA? n???,, 21??i?)I i?? i? i kiikiittt??????? 2121 i? IA????)(f? 0)(???IA??f 所以 n阶方阵总共有 n个特征值,特征值的重数称为的代数重数,记做?注 2 方程组的解空间称为 A的属于的特征子空间,而把 dim 称为的几何重数,记作?注 3 特征值的几何重数与代数重数满足? 设A为n阶方阵, A的n个特征值?对应的特征向量为?又设 f( ) 为一多项式,则 f (A ) 的特征值为 f( ), i = 1,2,3 …..n 且所对应的特征向量 xi 也同时为 f( ) 所对应的特征向量。????m 0)(??xIA?)(IAN???)()(IAIAN??????rn ???????m ???m??1 n???,, 21? nxxx,,, 21??? i? i? i?典型例题分析?1)特征值于特征向量的计算例1求A = 的全部特征值和对应的特征向量所以 A的全部特征值为 122 212 221????????????????121 211 221)5(122 212 221IA 2)1 )(5(100 010 221)5(??????????????1,5 3,21?????当?可知所以就可写成令的基础解系就是矩阵 A对应于的特征向量,全部特征向量为当时所以可写 5 1??000 110 211~660 660 422~224 242 422~422 242 224?????????????IA 1?0xIA??)( 1?????????0 02 32 321xx xxx 1 2?x?? T1,1,1? 1? 1?5 1??)0( 111?kk?1 3,2???000 000 111~222 222 222 2??IA? 0xIA??)( 2?如下形式取得取得均为 A的二重特征值的特征向量,全部特征向量为其中不全为零 0 321???xxx 0,1 32??xx?? T0,1,1???1,0 32??xx?? T1,0,1??? 32,??1 3,2??? 3322??kk? 32,kk二特征值与特征向量的性质? 设是方阵 A的互不相同的特征值, 是分别与之对应的特征向量, 则线性无关属于同一特征值的特征向量的任意非零组合仍是属于的特征向量设n阶方阵 A的 n 个特征值为,则 n???,, 21? nxxx,,, 21? nxxx,,, 21??? n???,,, 21?)( 11A tr ni ii ni i????????A??? ni i1?注1若是A的分别属于特征值的特征向量, ,则不是 A的特征向量?注 2 若, u 分别是 A,B的特征值,则未必是 A+B的特征值,也未必是 AB 的特征值?注 3 A 与有相同的特征值,但特征向量未必相同?注 4 正交阵 A的特征值只能是 1或-1 21??, 21,?? 21??? 21????????? TA三相似矩阵的相关概念? 定义:设 A、B都是 n阶方阵,若存在 n阶可逆矩阵P,使,则称 A相似与 B。? 基本性质自反性: A与A相似; 对称性: A相似与 B,则 B也相似与 A; 传递性: A相似与 B,B相似与 C,则 A相似与 C 相似矩阵的性质 B AP P??1