文档介绍：§1-2 矩阵的相似变换,酉变换和正交变换
重点:正交矩阵,酉矩阵
第一章
基础知识
第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
一、特殊的矩阵介绍
1、实矩阵:若
, 则
实矩阵
线性空间
元素为实数!
* 正交矩阵:若
(是一种实矩阵!)
则称[A]为正交矩阵!
若
为实对称方阵
为反对称方阵
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
正交矩阵与正交相似变换密切有关!
即正交矩阵用于正交相似变换!
2、复矩阵:特别注意这两种复矩阵:
Hermite矩阵
酉矩阵
两种重要的复矩阵!
若
则
为复数矩阵
复线性空间
元素为复数!
例如:
—复数矩阵。
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
—为复数单位。
* Hermite矩阵
是对称复数矩阵!
注:这两种复矩阵的区别!
即
共轭转置!
若
则
称为反对称Hermite矩阵。
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
若
则:
——称为 Hermite矩阵。
若
则[A]称为酉矩阵!
例:
是一酉矩阵。
显然:酉矩阵是复矩阵,但复矩阵不一定是酉矩阵!实的酉矩阵是正交矩阵。酉矩阵用于酉变换!
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
* 酉矩阵定义:
—— n 阶复方阵
①单位矩阵是酉矩阵,也是正交矩阵;
②若[U]是酉矩阵,[P]是正交矩阵,
则
酉矩阵与正交矩阵的条件!
③若[U]是酉矩阵,[P]是正交矩阵,则[U]H也是酉矩
阵, [P]T也是正交矩阵。
证:
证毕。
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
3、酉矩阵和正交矩阵的性质(变换方法中用到!)
④若[U]和[V]都是同阶酉矩阵(或正交矩阵)
⑤ n阶酉矩阵[U](或正交矩阵[P])的 n 个列
(或Rn)上的一组规范正交向量组。
则乘积
也是酉矩阵(或正交矩阵)
证:
即:
一系列酉矩阵乘积仍是酉矩阵!
一系列正交矩阵乘积仍是正交矩阵!
后面用到!
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酉矩阵和正交矩振
第2节矩阵的相似变换
即:
二、矩阵的相似变换:酉变换和正交变换
1、相似变换
定义:设
如果存在非奇异方阵
使
成立
则称
相似,记
的变换称为相似变换。
变换矩阵!
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
两种重要的相似变换!后面用的多!
注:相似变换是一种很实用的矩阵变换!
实用上,是构造一非奇异方阵[S],进行相似变换,使变换后[B]比[A]简单(例如:三角阵、三对角阵等),以便快速求出[A]的特征解。
性质:
①反身性:
③传递性:若
②对称性:若
则
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
——两种特殊的相似变换!
用酉矩阵作为相似变换矩阵!
用正交矩阵作为相似变换矩阵!
酉矩阵
正交矩阵
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第2节矩阵的相似变换
酉矩阵和正交变
设