文档介绍：线性方程组
5,解题方法技巧与题型归纳
题型一线性方程组解的基本概念
1如果α1、2是下面方程组的两个不同的解
向量,则a的取值如何?
x2-ax2=3
2x1-3
2x1+ax2+10x3=4
解:因为α1、2是方程组的两个不同的解向
量,故方程组有无穷多解,r(A)=r(Ab)<3
对增广矩阵进行初等行变换
20-3
02
002a2-3a-14
冷易见仅当a=2时,r(A)=r(Ab)=2<3
故知a=2
冷2设A是秩为3的5×4矩阵,Q1、Q2、
a2是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同
的解,若a1+Q2+2a3=(2,0,0,0)
3a1+a2=(2,4,6,8)T,求方程组
Ax=b的通解。
冷解:因为r(A)=3,所以齐次线性方程组Ax=0的
基础解系由4r(A)=1个向量构成,
又因为(a1+C2+2a3)-(301+02)=2(a2-01)
(0,-4,-6,-8)「,是Aⅹ=0的解,即其基
础解系可以是(0,2,3,4)T,
由A(a1+a2+22)=Aa1+AC2+2Aa2=4b知
14(01+02+203)是Ax=b的一个解,故
Ax=b的通解是
,0+k(0,2,3
2
=(-9,1,2,11)T,2=(1,-5,
13,0)
7,-9,24,11)T是方程
组的三个解,求此方程组的通解
2x,tax t3x tax=d
3x1+b2x2+2x3+b4x4=4
9x1+4x2+x3+C4x4
分析:求AX=b的通解关键是求Ax=0的基础解
系,判断r(A)的秩。
冷解:A是3×4矩阵,(A)≤3,由于A中第2,3
两行不成比例,故r(A)≥2,又因为
n1=512=(-10,6,-11,11)
n2=252=(8,4,11,-11)是AX=0的两个线性无关
的解向量,于是4-r(A)≥2,因此r(A)=2,所
以51+kn1+k2n2是通解。
总结:
冷不要花时间去求方程组,太繁琐,由于81-82,
51-83或ξ3-1,83-2等都可以构成齐次线性
方程组的基础解系,ξ1,ξ2,3都是特解,
此类题答案不唯一。
题
题型2线性方程组求
解
4矩阵B(1-2100的各行向量都是
2010
001-10
方程组
x1+x2+x3+x4+x5=0
3x1+2x2+x3+x4-3x5=O
x2+2x3+2x4+6x5=0
5x1+4x2+3x3+3x4-x5=0
的解向量,问这四个行向量能否构成上方程组
的基础解系?若不能,这4个行向量是多了还
是少了?若多了如何去掉,少了如何补充?
令解:将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵
010
120
A
226
5433-1)(00000
(A)=2n=5因而一个基础解系含有3个解向量a1
(1,-2,1,0,0)T
1-2010
2=(1,2,0,1,0)
B
a3=(5,6,,1),
1-23-2
B矩阵的r3=12,r4=3122,B中线性无关的行向量
只有1,2行,故B中4个行向量不能构成基础解系,
需增补α3。