文档介绍：
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
机动目录上页下页返回结束
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,
求移
变力沿直线所作的功
动过程中变力所作的功W.
机动目录上页下页返回结束
把L分成 n 个小弧段,
有向小弧段
近似代替,
则有
所做的功为
F 沿
则
用有向线段
上任取一点
在
机动目录上页下页返回结束
“近似和”
“取极限”
(其中为 n 个小弧段的
最大长度)
机动目录上页下页返回结束
2. 定义.
设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧,
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在,
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分,
则称此极限为函数
或第二类曲线积分.
其中,
L 称为积分弧段或积分曲线.
称为被积函数,
在L 上定义了一个向量函数
极限
记作
机动目录上页下页返回结束
若为空间曲线弧, 记
称为对 x 的曲线积分;
称为对 y 的曲线积分.
若记
, 对坐标的曲线积分也可写作
类似地,
机动目录上页下页返回结束
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) 用L- 表示 L 的反向弧, 则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
机动目录上页下页返回结束
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
存在, 且有
机动目录上页下页返回结束
特别是, 如果 L 的方程为
则
对空间光滑曲线弧:
类似有
定理目录上页下页返回结束
例1. 计算
其中 L 为
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向;
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
(2) 取 L 的方程为
则
则
机动目录上页下页返回结束