文档介绍：求曲线、曲面积分方法和技巧
计算曲线积分通常采取方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分和路径无关条件经过改变积分路径进行计算、利用全微分公式经过求原函数进行计算等方法。
例一．计算曲线积分其中是圆上从原点到一段弧。
本题以下采取多个方法进行计算。
解1：方程为由由
分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算，选择参变量为因所求积分为第二类曲线积分，曲线是有方向，在这种解法中应注意参变量积分限选定，应选择对应曲线起点参数起始值作为定积分下限。
解2：在弧上取点，
方程为由由
方程为由由
分析：解2是选择参变量为利用变量参数化直接计算所求曲线积分，在方法类型上和解1相同。不一样是认为参数时，路径不能用一个方程表示，所以原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分计算中全部需选择在该部分中参数起始值作为定积分下限。
解3：参数方程为由由
解4：极坐标方程为所以参数方程为
由由
分析：解3和解4仍然是经过采取变量参数化直接计算。可见一条曲线参数方程不是唯一，采取不一样参数，转化所得定积分是不一样，但全部需用对应曲线起点参数起始值作为定积分下限。
解5：添加辅助线段，利用格林公式求解。因于是
而
故得
分析：在利用格林公式将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采取“补路封闭法”进行计算再减去补路上积分，但必需在补路后封闭曲线所围区域内有一阶连续偏导数。是正向边界曲线。解5中添加了辅助线段使曲线为正向封闭曲线。
解6：因为于是此积分和路径无关，故
分析：因为在闭区域上应含有一阶连续偏导数，且在内所以所求积分只和积分路径起点和终点相关，所以可改变在上积分为在上积分，注意点对应起点。通常选择和坐标轴平行折线段作为新积分路径，可使原积分得到简化。
解7：由全微分公式
分析：此解依据被积表示式特征，用凑全微分法直接求出。
例二．计算曲线积分其中是曲线从轴正向往轴负向看方向是顺时针。
解1：设表示平面上以曲线为边界曲面，其中正侧和正向一致，即是下侧曲面，在面上投影区域：由斯托克斯公式
解2：利用两类曲面积分间联络，所求曲线积分了可用斯托克斯公式另一形式求得出
而平面：法向量向下，故取于是上式
分析：以上解1和解2全部是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算。在利用斯托克斯公式计算时首先应验证函数在曲面连同边界上含有一阶连续偏导数，且正向和侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常见。
解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设则从
例三．计算其中为曲线
解1：因为当积分变量轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分和弧方向无关，故有
由曲线是球面上大圆周曲线，其长为故
因为相关原点对称，由被积函数为奇函数，得 于是
解2：利用在上，，
原式
再由对称性可得（同解1），于是
上式
分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分计算中，当积分变量在曲线方程中含有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采取此法进行计算常常是有效。
例四．求其中为椭圆曲线上在上半平面内从弧。
解：添加辅助线 为顺时针方向上半圆周和有向线段，其中是足够小正数，使曲线包含在椭圆曲线内。因为
，
由格林公式，有
设有
再由 于是
分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效，但必需要考虑被积函数和所考虑区域是不是满足格林公式条件。因为本题中在点周围 无定义，于是采取在椭圆内部周围挖去一个小圆，使被积函数在对应区域上满足格林公式条件。这种采取挖去一个小圆方法是常见，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行。同时在用格林公式时，也必需注意边界曲线取正向。
例五．求八分之一球面边界曲线重心，设曲线密度
解：设边界曲线在三个坐标面内弧段分别为则质量为
设边界曲线重心为，则
由对称性可知
分析：这是一个第一类曲线积分应用题。在计算上要注意将曲线分成三个部分： 其次由曲线相关坐标系对称性，利用可简化计算。
计算曲面积分通常采取方法有：利用“一投，二代，三换”法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上积分转化为该曲面所围区域上三重积分等。
例六．计算曲面积分其中为锥面在柱体内部分。
解：在平