文档介绍：山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面和法线第六节多元函数微分学的几何应用山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂一、空间曲线的切线与法平面过点 M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.? TM ?空间光滑曲线在点 M处的切线为此点处割线的极限平面. 山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂设空间曲线?的参数方程为 x??(t ), y??(t ), z??(t ), 这里假定?(t ), ?(t ), ?(t)都在[???]上可导?设t?t 0和t?t 0 ?? t分别对应于曲线上的点M 0(x 0, y 0, z 0)和M(x 0+?x, y 0+?y, z 0+?z)?当M?M 0, 即?t?0时,???)()()( 0 00 00 0t zzt yyt xx????????????z zzy yyx xx???????? 000 ?或t z zzt y yyt x xx??????????? 000 ??作曲线的割线 MM 0,??其方程为得曲线在点 M 0处的切线方程为 z zzy yyx xx???????? 000 ?或t z zzt y yyt x xx??????????? 000 ??一、空间曲线的切线与法平面山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂设空间曲线?的参数方程为 x??(t)?y??(t)?z??(t)?这里假定?(t ), ?(t ), ?(t)都在[???]上可导?)()()( 0 00 00 0t zzt yyt xx????????????过曲线?上t?t 0所对应的点 M 0切线方程为向量 T?(??(t 0)????(t 0)????(t 0 ))称为曲线?在点 M 0的切向量.?通过点 M 0 而与切线垂直的平面称为曲线?在点 M 0 处的法平面, 其法平面方程为??(t 0 )(x?x 0)???(t 0 )(y?y 0)???(t 0 )(z?z 0)?0??一、空间曲线的切线与法平面山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂zyx o ???kzRyRx???, sin , cos 2 ???对应点处的切线方程和法平面方程., 2时当???切线方程??R x 法平面方程 xR?0 22???kzkxR ?即????????0 0 2Ry kRzRxk ?即解: 由于, sin ?Rx???0 Ry?k kz 2 ???, cos ?Ry??,kz??),,0( 2 0kRM ?对应的切向量为 0)( 2???kzk ?在),0,(kRT??, 故山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂讨论?1. 若曲线的方程为 y??(x)??z??(x)??则切向量 T?? 提示?1. 曲线的参数方程可视为:?x?x??y??(x)??z??(x)??切向量为 T?(1????(x)????(x ))??曲线 x??(t ), y??(t ), z??(t)在t?t 0 所对应的点 M 0 的切向量为 T?(??(t 0)????(t 0)????(t 0 ))??2. 若曲线的方程为 F(x, y, z)?0, G(x, y, z)?0, 则切向量 T?? 2. 两方程可确定两个隐函数:??y??(x)??z??(x)???切向量为 T?(1????(x)????(x ))??而??(x)????(x)要通过解方程组得到. 山东农业大学高等数学主讲人: 0,6 222??????zyxzyx 在点 M ( 1, – 2, 1) 处的切线方程与法平面方程. xx zzx yy???d dd d x 求导, 得1d dd d???x zx y11 11d dzy xyx z ???11 d dzyx y?曲线在点 M (1, – 2, 1) 处有:切向量解得11??zx,zy xz???zy yx???)1,0,1(????????? MMx zx yTd d,d d,1 山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂切线方程 121?????zyx 即????????02 02y zx 法平面方程 0)1()1()2(0)1(1??????????zyx 即0??zx 点 M (1, – 2, 1) 处的切向量 01?1 )1,0,1(??T 山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂 0),,(:??zyxF 二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点),,( 000zyxM 0tt?设对应点 M,)(,)(,)( 000ttt??????切线方程为)()()( 0 00 00 0t zzt yyt xx???????????不全为 0 . 则?在,)(,)(,)(:tztytx???????且点