文档介绍：§ 向量在轴上的射影
一、空间点在轴上的投影:
设已知点及轴,过点作轴的垂直平面,则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影.
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二、向量在轴上的投影:
定义1 设向量的始点与终点在轴的投影分别为、, 那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影, 记作, 轴称为投影轴.
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这里,的值是这样的一个数:
(1)、即, 数的绝对值等于向量的模.
(2)、当的方向与轴的正向一致时,;当的方向与轴的正向相反时,.
三、空间两向量的夹角:
设有两向量、交于点(若、不相交,可将其中一个向量平移使之相交),将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转,使它的正方向与另一向量的正方向重合,这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角,记作.
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若、平行,当它们指向相同时,规定它们之间的夹角为;当它们的指向相反时,规定它们的夹角为.
类似地,可规定向量与数轴间的夹角.
将向量平行移动到与数轴相交,然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转,使向量的正方向与数轴的正方向重合, 这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角.
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四投影定理:

, (-1)
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证过向量的始点引轴,且轴与轴平行且具有相同的正方向,那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角,而且有
故
由上式可知:向量在轴上的投影是一个数值,而不是向量.
当非零向量与投影轴成锐角时, 向量的投影为正.
对于任何向量都有
. (-2)
证取,那么,设分别是在轴上的投影,那么显然有,
因为
所以,
即.
类似地可证下面的定理:
对于任何向量与任何实数有
. (-3)