向量在轴上的射影.pdf

文档介绍：§ 向量在轴上的射影

:
GG JJJGGJJJGG
设 ab, 是两个非零矢量,自空间任意点O 作OA= a ,OB= b ,则称由射线OA 和OB 构成的
G G G G
角度在 0 到π之间的角叫做矢量 a 与b ∠(ab, ) .
GG GG B
规定: ab, 同向, ∠=()ab,0
GG GG G
ab, 反向, ∠=ab, π b
() G
O a A
G G
结论: ① 0,≤∠(ab ) ≤π
GG
②∠()ab, 的大小与点O 的选择无关.
GG GG
注: 有向角((()ab,,=−() ba

(1).点在轴上的射影
设已知空间一点 A 与一轴l ,过 A 作垂直于轴l 平面 A
α,则称这个平面与轴l 的交点 A′为点 A 在轴l 上的射
影. A′ l
记射影,
l AA= ′α


(2).向量在轴上的射影
JJJG JJJJG JJJG
设向量 AB 的始点 A 和终点 B 在轴l 上的射影分别为 AB′, ′,则称向量 AB′′为向量 AB 在轴l
JJJGJJJJG
上的射影矢量,记射影矢量 l AB= A′′ B
JJJGJJJJG
即若射影 l AA= ′,射影 l B= B′,则射影矢量 l AB= A′ B ′
G JJJG JJJJG G JJJG
在轴l 上取定标架{oe, } ,则有射影矢量 l ABABxe=′′= ,称 x 为矢量 AB 在轴l 上的射影,记
1
JJJG
射影 l AB= x .
JJJG JJJGG
G G
所以射影矢量 e AB = (射影 e ABe)


B
A
O
G
A′ e B′ l





JJJG JJJGJJJG
(1). 射影 l AB==∠ ABcosθθ( l , AB),
GG G G
(2). 射影 ab+=射影 l a +射影 l b ,
l ()
G G
(3). 射影λa = λ射影 l a .
l ()
GGG
例设在直角坐标系{oi;, jk , } 下,
z
GGGG G
G
矢量 aXiYjZk=++,试证明:射影 i aX= ,