平行轴定理.pdf

文档介绍：平行轴定理
转动惯量与转动轴的位置有关。
绕着一个固定轴转动的物体的动能是
1
K = I ω 2
2 z
之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来:
1
K 2 += KMv
2 cm int

一个刚体上的两个平行轴。Z 轴是固定的,质心轴绕着 z 轴运动。相对于任意一个轴物体都处于运动状态。

考虑绕不经过质心的固定轴(假设是 z 轴)的转动。
质心绕着这个固定轴转动,设它与轴之间的距离为 d:
因此 cm = dv ω
1 1
Mv 2 = Md ω 22
2 cm 2
一个物体以角速度ω绕固定轴 z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于 z 轴且通过
质心的固定轴的转动。也就是说,绕 z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转
动的叠加。
绕通过质心的固定轴转动的动能为:
1
K = I ω 2
int 2 cm
1 1
所以 K I ω 2 += Md ω 22
2 cm 2
1 1
I ω 2 += ]MdI[ ω 22
2 z 2 cm
两相比较可得:
2
cmz += MdII ,这就是平行轴定理。
例:木棒
细木棒绕着它长度的中点转动,转动惯量为:
1
I = ML2
cm 12
——那么,当木棒绕着它的一端转动时,它的转动惯量是多少?
L
d =
2
ML2 L
I += (M ) 2
12 2
ML2
I =
3
垂直轴定理

一个薄平板,它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。

表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。
考虑一个薄板,它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。
设与之相对应的转动惯量分别为和II,I zyx
假设平板处于 xy 平面上,从 z 轴到参考点 P 的垂直距离为
+= yxR 22
= ρ 2 ρ+= 22 dV)yx(dVRI
z ∫∫
= ρ 2dVyI
x ∫
= ρ 2dVxI
y ∫
所以+= III yxz ,这便是垂直轴定理。
例:
1) 圆盘

•处于 xy 平面上的一个圆盘,其转动惯量为
1
I = MR 2
z 2
由对称性可知, = II yx
因此由垂直轴定理即可得到: = 2II xz
I MR 2
II z ===
yx 2 4
2) 正方形平板

•正方形的变长为 a
通过对称性可知, = II yx
1
因此由垂直轴定理即可得到: I2I == Ma 2
zx 6
例:
当圆柱体转动时,绳子开始释放,物体 m 向下落。

一根轻绳绕在质量为 M,半径为 R 的实心圆柱体上,一个质量为 m 的物体系在绳子的一端,
然后从距离地面高度为 h 的地方由静止释放。假定整个过程中所有摩擦都不存在,那么,求
当物体 m 刚刚落地时,圆柱体的运动速率和角速度。
解答:
在初始状态,系统没有动能,但是具有重力势能。到最终状态两个物体 M 和 m 都具有动能,
而这时候物体 m 的势能消失。
111 =+= + mgh0UKE
1 1
UKE mv 2 ω 2 ++=+= 0I
222 2 2
根据几何关系, = Rv ω
1
且实心圆柱的转动惯量为 I = MR 2
2
根据机械能守恒定律: = EE 21
1 1 1 v 1 M
mgh mv 2 += ( )(MR ) 22 m( += v) 2
2 2 2 R 2 2
+= )2m/M1/(2ghv
一个物体的角动量
•对于一个物体,如果有外力作用时,它的鲜动量并不守恒:
Pd
= F (牛顿第二定律)
dt
•对于某些特殊种类的力作用在物体上的情况,物体的角动量是守恒的。这些力被称作中心
力。
^
= fF r
一个质量为 m 动量为 P 的物体的角动量是一个矢量,它的方向垂直于 r 与 P 所确定的平面,而且其大小取
决于参考系的选择。

考虑一个质量为 m 的物体,其位置矢量为 r ,运动速度为 v 。
物体相对于原点 O 的瞬时角动量 L 被定义为它的瞬时位置矢量与瞬时线动量的叉乘:
=×= rpsinPnL φ
在国际单位制中,角动量的单位是千克米/秒 2
•首先运动矢量的叉乘;
•角动量 L 的大小和方向依赖于坐标系的选择;
•角动量 L 的方向垂直于位置矢量