文档介绍：第四节凸函数
函数f定义在Rn的子集S上，值域为实数或者-：：.集合
{（x,卩）库 xw S,卩己 R, A H f（x）}
称为f的上图，+1的子集上的凸集，
S上凸函数的有效定义域是 f上图到Rn的投影，我们记为domf,即卩
domf={x| 日巴（x, 4）乏 epif }={ x | f （x） £ 兄}•
这是一个Rn上的凸集，因为它是凸集epif在线性变化下的像•它的维数叫做f的维数•一般地， f的凸性就取决于domf到f的约束条件，所有的兴趣就集中在这个约束条件上， S本身没起
多大的作用•
很显然，为什么我们只考虑有确定有效定义域 C的凸函数是有很重要的原因的 •两个处
理方法可以使用•一个方法是仅仅关注不含 •：：的函数，从而使 S与domf相符合（随着f
的不同而不同）•当然，也可以关注所有 Rn上的函数，因为S上的凸函数可以通过补充定义
f（x） =+临（当x更S），可以扩张成为 Rn上的凸函数•
第二个处理方法将在本书中阐明 •此后，除非特别声明，我们认为凸函数就是指定义在
全体实值Rn （包括无穷大）上的凸函数•
然而，这个方法会牵涉到 + ：：或-的算术运算，我们给出如下规则：
Ot+oO=o0+a=cO， P— Od < Q < °o
a — O0 = —Od +ot = —Od，于—吆 < < O0
a oo = ^ot=oo,a （_oa ）=（ — co ）a=—oo ,\7 0<a < oo
Ct 00=旳0（ =— O0 ,cc （ —O0 ）=（ — O0 ）o（ = oo,\/ 一旳兰 a <0
0 ：: = :: o=o=o（ —：：）=（ — ：： ）0,—（—：:）=::
inf ①=+ oa ,sup①=—°o
由于运算和-+ ：：没有定义，我们需要避免•在这些原则下，以下的运算法则成立：
:-r g 2 = ] 2 S 1，
'二 2）+〉3 =〉r +（〉2+〉3）,
:-r〉2 = ] 2〉r，
（〉1〉2）〉3=〉1（〉2〉3），
2）=川芒 1 + 川八 2，
为了避免乙-指需要小心，比如避免除数为 0•在实际中，一般假设运算不包括无穷大，
所以不会产生矛盾•
如果f的上图是非空的并且不包含垂直线就是真凸函数 •比如说如果存在 x使f （x）
< •：:，或者任意x, f （x） > •因此，f是真凸函数当且仅当凸集 C=domf是非空的 换一
种说法，Rn上的真凸函数是从非空凸集 C上取有限凸函数，并且 f （ x） = •:: （ x C
）扩充到Rn函数•
不是真凸函数的凸函数为非真的 •真凸函数是我们所要学****的，但是非真凸函数在很多
情况下也会由非真凸函数产生，并且考虑它比排除它方便的多 •一个不是•二或-二的简单
的非真凸函数的例子是 R上如下定义的函数：
当 x <1,
f（x） = « 0 当 x =1, 邑当 X >1.
凸函数有重要的插值性质•通过定义，S上f是凸函数当且仅当
（1 -丸）（x,屯）+ 九（y,¥） =（（1 -^）x +丸y,（1 —丸）屯 + 丸M） • 属于 epif, 一 （x, "）,（y「）属于 epi f, 0" 1.
换言之，存在（1-%）x*7y・S和
f ((1 — Jx ：： ■ ly) _ (1 — %)丄川
-x S, y 三 S, f (x) _」 R, f (y) _ . ,0 _ ■ -1. 这还可以用多种方法表述，以下两种不同形式的表达最有用：
(例如C=R2)至U -： ：，•：： I的函数，那么f是C上的凸函数必 须且只须
f ((1 一财 x+Xy) <(1_X)f (x) +丸 f (y), 0<^v1, 对任何x三C, y三C成立.
|| ］的函数，那么f是凸函数必须且只须
f ((1 一 •)x ■ y) _(1 - 汕，0 < - :： 1,
对 f (x) ：：： : , f (x)：：：成立. 另外的重要形式可以通过定理 .
定理43⑴(Jen sen不等式)设f是Rn到-:：，
f 仇 X*IIZ mXm) " 1f 仪1)十山 +九 mf(Xm),
对• 1 _0,「m-0「1 m "成立.
证明非常简单，留作练****br/>当然，在相同条件下，凹函数满足相反的不等式 .，
Rn上的仿射函数是 Rn到R的一个仿射变换.
定理