43协方差与相关系数.ppt

文档介绍：§ ( X ,Y ): 已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系. ??[ ( )][ ( )] E X E X Y E Y ? ?数反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系称??[ ( )][ ( )] E X E X Y E Y ? ?为 X ,Y 的协方差. 记为?? cov( , ) [ ( )][ ( )] X Y E X E X Y E Y ? ??称??????)(), cov( ), cov( )(YDYX YXXD 为( X , Y )的协方差矩阵协方差和相关系数的定义定义若D ( X ) > 0, D ( Y ) > 0 , 称)()( ), cov( )()( )( ))( ((YDXD YXYDXD YEYXEXE?????????为 X ,Y 的相关系数,记为)()( ), cov( YDXD YX XY??事实上, ), cov( ???YX XY?若,0? XY?称 X ,Y 不相关. 无量纲的量若 ( X ,Y ) 为离散型, 1 1 cov( , ) [ ( )][ ( )] i j ij i j X Y x E X y E Y p ? ?? ?? ????若 ( X ,Y ) 为连续型, cov( , ) [ ( )][ ( )] ( , ) X Y x E X y EY f x y dxdy ????????? ??? ?协方差和相关系数的计算?)()()(), cov( YEXE XY EYX????)()()(2 1YDXDYXD?????求 cov ( X ,Y ), ? XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1已知 X ,Y 的联合分布为 XY p ij 1 0 10 p 00 q 0 < p < 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P ,)(,)( ,)(,)( pq YD pq XD pYEpXE????,)(p XY E?1,), cov( ?? XY pq YX?例2设 ( X ,Y ) ~ N ( ? 1,? 1 2;? 2,? 2 2 ;?), 求? XY 解 dxdy yxfyxYX),() )((), cov( 21??????????????? dsdt e st tts 22 22 1)()1(2 1???????????????? dudt eutt t u 22 22 1)1(2)( ???????????????? 2 2112????? uts????令 2 2112????? s x?? 1 1??t y?? 2 2?? dtet du e t u 2 2 22 12)1(22 2112 ???????????????????????? 21???? XY 若 ( X ,Y ) ~ N ( ? 1,? 1 2, ? 2, ? 2 2, ?), 则 X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关例3设?~ U (0,2 ?) , X= cos ?, Y= cos ( ?+?), ?是给定的常数,求? XY 解????????其他,20,2 1)( ???ttf,02 1) cos( )( ,02 1 cos )( 20 20????????? dttYE dttXE????????? cos 2 12 1) cos( ) cos( )( 20????? dttt XY E? cos 2 1), cov( ?YX,2 12 1)( cos )( ,2 12 1 cos )( 20 22 20 22????????? dttYE dttXE?????,2 1)( ,2 1)(??YD XD?? cos ? XY