文档介绍：《概率论与数理统计》
§ 协方差和相关系数
问题对于二维随机变量(X ,Y ):
已知联合分布
边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自
的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系.
问题: 用一个怎样的数去反映这种联系.
回忆:
定义称E([X-E(X)][Y-E(Y)])为X,
E{(X-EX)(Y-EY)}
X,Y 独立
E{(X-EX)(Y-EY)}=0
数
反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系
一、协方差定义与性质
若X, Y 独立,则根据数学期望的性质,有
E(XY)=EX EY
=E(XY)-EX EY =0
若( X ,Y ) 为离散型,
若( X ,Y ) 为连续型,
注
D(X ) = E[X - E(X)]2
(1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X);
(2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0;
(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为常数;
(4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
协方差性质
(5)
性质1
D(X ) = E[X-E(X)]2
解
例1:设随机变量XB(12,),Y N(0,1),
Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y
的方差与协方差
定义: 当Cov(X,Y)=0时,称X与Y 不相关。
?
“X与Y 独立”和“X与Y不相关”有何关系?
性质2“X与Y 独立”
“X与Y不相关”,反之未必成立.
例2 设(X, Y)在D={(X,Y):x2+y21}上服从均匀分布,求证: X与Y 不相关, 但不是相互独立的。
(P66&98)
性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价
(1) X,Y不相关;
(2) Cov(X,Y)=0;
(3)E( XY)=EX EY;
(4) D(X+Y)=DX+DY.
二、相关系数
1. 定义若随机变量 X,Y的方差和协方差均存在,
且DX>0,DY>0,则
注:
称为X 的标准化.
称为X与Y的相关系数.
EX*=0,DX*=
无量纲
的量
例3 设( X ,Y ) ~ N ( 1,12;2,22 ; ), 可以证明:XY = 
(P98)
若( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ),
则X ,Y 相互独立
X ,Y 不相关
X , Y 不相关
X ,Y 相互独立
X , Y 不相关
2. 相关系数的性质
(1) |XY|1;
(2) |XY|=1存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1;
(3) X与Y不相关XY=0;
解
D
1
x=y
例4 设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的相关系数