43 协方差相关系数.ppt

文档介绍：协方差相关系数一、协方差的定义二、协方差的性质三、相关系数的定义四、相关系数的性质对于二维随机变量(?,?)来说,数学期望 E?,E?仅仅反映了?与?各自的平均值,而方差 D?,D?也仅反映了?与?各自离开均值的偏离程度,它们没有提供?与?之间相互联系的任何信息。而事实上,从前面的二维随机变量(?,?)联合分布律或联合概率密度的讨论,我们知道?与?之间是存在着密切联系,因此,我们也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。这便是本节要讨论的问题。在方差性质 4的证明中,我们已经发现当?与?独立时,必有 0 )] )( [(???????EEE ,即的协方差,记为与为随机变量称),( )] )( [(???????? Cov EEE??定义也就是说,当时, ?与?肯定不独立,由此说明式在一定程度上反映了?、?间的某种联系。 0 )] )( [(???????EEE )] )( [(),(??????EEE Cov???由定义可知,在离散型场合下的协方差是通过和式来表示的,即????????? 11) )((),( ij ij jipEyEx Cov???? 0 )] )( [(???????EEE一、协方差的定义在连续型场合下的协方差是通过积分来表示的,即????????????? dydx yxfEyEx Cov),() )((),(????特别,当?=?时,有?????????DEEEEE Cov?????? 2)( )] )( [(),(二、协方差的性质),(2 )()1(?????? Cov DD D????注: ?与?独立是式 D(?+?)=D?+D?,E( ??)=E?·E?成立的充分条件,上两式成立的充要条件是 Cov (?,?)=0 。(2) Cov (?,?)=E( ??)-E(?)E(?); 我们常利用这一式子计算协方差。(3) Cov (?,?)= Cov (?,?); (5) Cov (? 1+? 2,?)= Cov (? 1,?)+ Cov (? 2,?)。协方差的数值虽然在一定程度上反映了?与?相互间的联系,但它还受?与?本身数值大小的影响。譬如说,当?,?各自增大 k倍,即? 1 = k?,? 1 = k?, 这时? 1与? 1间的相互联系和?与?间的相互联系应该是一样的,但事实上由性质 4知: (4) Cov ( a?, b?)= abCov (?,?) ; a, b? R),(),(),( 2 11?????? Cov kkk Cov Cov??即表明协方差增大了 k 2倍。为克服这一个缺点, 引入下面的所谓相关系数的定义。. )(),( 相关系数的与称为随机变量???????????????DD EEEDD Cov??????定义顾名思义,相关系数反映了随机变量?与?之间的相互关系——也就是它们相互之间的一种联系。但到底是哪一种联系呢?这是需要进一步弄清的问题。三、相关系数的定义引理设(?,?)是一个二维随机变量,若 E? 2 ,E? 2存在,则有 222 )]([????EEE??证考虑一个关于实变量 t的二次函数 gtEttE tEE ()()() ??????????? 22222,0,0)()( 2 2???????E tEtg且因为0 )]([ 222???????EEE因此,二次方程 g(t )=0 的判别式非正,即有上述不等式通常称为柯西—许瓦兹( Cauchx — Schwarx ) 不等式。由这个不等式立即可得: 四、相关系数的性质 2 2 2)()( )]) )( [(( ????????EEEEEEE??????所以,当二维随机变量(?,?)的两个分量具有方差时,它们间的协方差必定存在,当然相关系数也一定存在。现在来证明???的两个重要性质,并由此说明???的意义。定理 2设(?,?)是二维随机变量,它们的相关系数???存在,则 1||)1(????(2) | ???| =1 的充分必要条件是?与?以概率 1线性相关。即存在常数 a、b,使得 1}{???baP??证(1) 令?????? 11????EE, 则对? 1,? 1运用上式有 1 )]([ )] )( [(),( 21 21 211 2 2 2 ?????????????????????????????????EE EDD EEEDD Cov 即有|???|≤1。(2) 由上式知|???|=1 等价于 21 21 211 )]([????EEE??这相当于在引理证明中,二次方程 g(t )=0 有一个重根 t 0 。即有 0)( 2110????tE