文档介绍：§ 对角矩阵
一、可对角化的概念
二、可对角化的条件
§ 对角矩阵
三、对角化的一般方法
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§ 对角矩阵
定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，
如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对
角矩阵，则称线性变换　可对角化.
矩阵，则称矩阵A可对角化.
定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵. 如果
存在一个上的级可逆矩阵，使为对角
一、可对角化的概念
§ 对角矩阵
1. (定理7)设为维线性空间V的一个线性变换，
则可对角化　有个线性无关的特征向量.
二、可对角化的条件
证：设在基下的矩阵为对角矩阵
则有
就是的n个线性无关的特征向量.
§ 对角矩阵
那么就取为基，则在这组基下的矩阵
是对角矩阵.
证：对k作数学归纳法.
当时，　线性无关. 命题成立.
反之，若有个线性无关的特征向量
2. (定理8)设为n维线性空间V的一个线性变换,
如果分别是的属于互不相同的特征值
的特征向量，则线性无关.
§ 对角矩阵
假设对于来说，结论成立. 现设　　　　　为
以乘①式的两端，得
②
设
①
又对①式两端施行线性变换，得
③
的互不相同的特征值，是属于的特征向量，
即
§ 对角矩阵
③式减②式得
由归纳假设，线性无关，所以
但互不相同，所以
将之代入①，得
故　线性无关.
§ 对角矩阵
3. (推论1) 设　为n 维线性空间V的一个线性变换，
则可对角化.
如果的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值，
特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中，
如果线性变换的特征多项式没有重根，则可
对角化.
§ 对角矩阵
特征值的线性无关的特征向量，
则向量　线性无关.
4. (定理9) 设　为线性空间V的一个线性变换，
是的不同特征值，而是属于
证明：首先，的属于同一特征值的特征向量
的非零线性组合仍是的属于特征值的一个特征
向量.
§ 对角矩阵
令
由④有，
设
④
特征向量.
而是互不相同的，由定理8，
必有所有的
若有某个　则是的属于特征值的
§ 对角矩阵
即
而线性无关，所以有
故线性无关.
5. 设　为n维线性空间V的一个线性变换，
为全部不同的特征值，则　可对角化
为　的特征子空间.