文档介绍：第五讲
2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲 1
•作业题
1(1~5,9),2,3,14(1),16,
2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲 2
Brown运动
预备知识:随机变量序列的四种收敛性
回忆实数序列的收敛性定义:
{an ,n ≥1}, lim an = a
n→∞
∀ε> 0,∃n ≥1,当k ≥ n时,恒有| ak − a |< ε.
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1. 几乎处处收敛(以概率1收敛)
(almost surely . /almost everywhere .)
一随机变量序列{X n (ω),n ≥1},
若ω∈Ω固定,则X n (ω)是一实数序列.
lim X n (ω) = X (ω).
n→∞
若对∀ω∈Ω, X n (ω)均收敛,
则X n (ω) → X (ω)可视为函数的收敛.
2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲 4
概率空间(Ω,
, P) = ([0,1],
[0,1], P)
[c, d ] ⊂[0,1], 定义 P([c, d ]) = d − c
0 ω∈ B = {[0,1]上有理点全体}
(ω) =
1 ω∈ B = {[0,1]上无理点全体}
∀ω∈[0,1],Y (ω) = 1.
1 ω∈( 1 ,1]
n
X n (ω) = n ≥ 1
0 ω∈(0, 1 ]
n
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∀ω∈Ω, X n (ω) → Y (ω)
X (ω) ω∈ B
∀ω∈Ω, X n (ω) →
1 ω∈ B
集合{ω: lim X n (ω) = X (ω)}即为无理点全体.
n→∞
P{ω: lim X n (ω) = X (ω)} = P(B) =1,
n→∞
P{ω: lim X n (ω) ≠ X (ω)} = P(B) = 0.
n→∞
X n (ω)几乎处处(以概率1)收敛到X (ω) .
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现将Ω扩展到任意的概率空间.
.{X n (ω),n ≥1},若
P{ω: lim X n (ω) = X (ω)} =1,
n→∞
则称X n (ω)几乎处处(以概率1) 收敛到X (ω) .
记为:
. . .
lim X n = X ,或者X n → X , X n → X .
n→∞
这种收敛方式要求最高
但不要求每点相等,因为不影响分布函数.
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P{ω: X (ω) = Y (ω)} =1
⇒∀x ∈ R, P(X ≤ x) = P(Y ≤ x).
可用公理化定义加以证明.
令
B = {ω: lim X n (ω) = X (ω)},
n→∞
B = {ω: lim X n (ω) ≠ X (ω)}.
n→∞
.
则X n → X ⇔ P(B) = 0.
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2. 依概率收敛
.{X n ,n ≥1},若:∀ε> 0
lim P(ω:| X n (ω) − X (ω) |< ε) =1,
n→∞
则称{X n ,n ≥1}
P
P
lim X n = X ,或者X n → X.(n →∞)
n→∞
由以概率1收敛可以推出依概率收敛
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3. Lp(p>0)收敛
.{X n ,n ≥1},若:
p
lim E | X n (ω) − X (ω) | = 0,
n→∞
则称{X n ,n ≥1}
Lp
X n → X.(n →∞)
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