文档介绍：2~8 按位移求解平面问题(位移法)
一、平面应力问题:
1. 由物理方程
(2-12)解出
2、把几何方程(2-3)代入(2-12a)
---以位移分量作为基本未知量
把(2~16a)代入平衡微分方程(2~2):
式(2~17)即为用位移表示的平衡微分方程,为按位移求解平面应力问题的基本微分方程。
(表示按位移求解平面应力问题时,解出的应力必须满足平衡微分方程)
二、平面应变问题: 对平面应力方程的E、μ作如下变换后即可得到 平面应变问题的相应方程和边界条件:
§ 按应力求解平面问题相容方程
2、变形相容(协调)方程(同一平面内{间的关系)
基本未知量
基本方程:用应力分量表示
(2-2)
由几何方程:
将
求两阶导数
相加
注:(2-9)用应变表示的相容方程。表示同一平面内
一点处的三个应变分量必须相互协调,才能保证变形
发生开裂或相互嵌入(位移连续),位移存在且是x,y
的连续函数。
开裂
嵌入
连续
用应力分量表示相容方程:
由物理方程
代入(2-9)式得到
(2-20)
由平衡方程
两式相加
代入(2-20)式:
化简(2-2)和(2-20)式
化简(2-2)和(2-20)式
(2-21a)应力表示的相容方程
结论:
整理、化简:
注:对于平面应变问题用
代换
(2—21b)
1、按应力求解平面应力(应变)问题,可归结为根据(2-2)平及(2-21)容)求出应力分量{,并要求在边界上满足应力边界条件(2-15)边,及位移单值条件。
(2-21a)