文档介绍：压杆的弹性稳定分析
与稳定性设计
————材料力学教案
学
时
6学时
基
本
内
容
弹性体平衡构形稳定性的基本概念
确定分叉荷载的平衡方法:欧拉压杆、其他刚性支承压杆
柔度、大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆
临界压力总图;压杆失效的不同类型与稳定性设计准则
教
学
目
的
掌握稳定性的基本概念与用平衡方法确定的压杆分叉荷载。
掌握柔度的概念与大、中、小柔度杆的区分、临界应力的计算。
了解压杆失效和稳定性设计准则。
重
点
和
难
点
重点:1)稳定性的基本概念。
2)欧拉杆与其他刚性支承压杆的临界应力计算式。
3)柔度的概念以及常用结构钢的的计算。
难点:1)不同形状截面压杆的的确定。
2)常用结构钢的的计算。
教
学
方法
可用简单模型教具表演在临界压力下的压杆的平衡构形和提高承载能力的措施。
作业
第九章压杆的弹性稳定分析与稳定性设计
刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念。
然后根据微弯的屈曲平衡构形,由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件,确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界荷载。
最后介绍两种工程中常用的压杆稳定设计方法。
§9-1弹性体平衡构形稳定性的基本概念
1. 弹性稳定性的静力学判别准则
结构构件或者机器零件在荷载作用下,在某一位置保持平衡,这一平衡位置称为平衡构形。例如弹性压杆具有直线平衡构形和弯曲平衡构形两种形式。
直线平衡构形式形
弯曲平衡构形
图9-1a
图9-1b
当载荷小于一定的数值时,微小外界扰动使其偏离初始平衡构形;外界扰动除去后,构件仍能回复到初始平衡构形,则称初始平衡构形是稳定的;当载荷大于一定的数值时,微小外界扰动使其偏离初始平衡构形;外界扰动除去后,构件不能回复到初始平衡构形,则称初始平衡构形是不稳定的。此即判别弹性稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界挠动下,都要转变为其它平衡构形或失稳,这种过程称为屈曲或失稳。通常,屈曲将导致构件失效——称屈曲失效。由于这种失效具有突发性,常给工程带来灾难性后果。
2. 弹性压杆的平衡构形及分叉屈曲
轴向受压的理想细长直杆,当轴向压力小于一定数值时,压杆只有一种稳定的直线平衡构形;当轴向压力大于一定数值时,压杆存在直线或者屈曲的两种可能的平衡构形,而且直线平衡构形在微小侧向干扰力作用下立即会转变成不稳定的屈曲平衡构形,这种现象称为平衡构形分叉。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点,从临界点开始会出现平衡构形分叉现象,所以又称为分叉点。临界点对应的荷载称为临界载荷或者分叉荷载,用表示。
§9-2确定分叉载荷的平衡方法
1. 两端铰支的压杆
考察如图9-2a所示受压的理想直杆,忽略剪切变形影响及杆的轴向变形。图9-2b直线平衡构形无限接近的微弯曲构形的局部(图9-2c),得到任意截面x上的弯矩。
图9-2a
图9-2b
图9-2c
又由小挠度微分方程
得到(9-1)
(9-2)
微分方程(9-1)示的解为
(9-3)
利用边界条件,解得
0 • A + 1 • B = 0
sinkl • A +coskl • B=0
其中不全为0,则系数行列式等于零,即
由此解得
(9-4)
于是有
(n=1,2,……)
从中解出k后代入(9-2),便可以得到分叉荷载的表达式
; (9-5)
当n=1时,得到有实际意义的分叉载荷最小值即最小临界荷载:
, (9-6)
当端部各个方向的约束相同时,上述二式中I为杆横截面的最小形心主惯性矩。
由(9-3)式得无限接近直线的屈曲位移函数为
(9-7)
2. 其他刚性支承条件下的压杆
不同刚性支承条件下,由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同,确定分叉载荷的表达式亦因此而异,但基本分析方法却是相同的。对于细长的杆件,这些公式可以写成通用的形式
对于细长杆,这些公式可以写成通用形式:
(9-8)
这一表达式称为欧拉公式。其中称为有效长度;为反映不同支承影响的系数,称为长度系数。
图9-3
(a)
(b)
(c)
(d)
一端自由,一端固定时μ=
一端铰支,一端固定μ=
两端固定μ=
两端铰支μ=
§9-3柔度、临界应力及非弹性屈曲
1. 细长压杆的临界应力
压杆处于临界平衡状态时,其横截面上的平均应力,用表示。将式(9-8)两端同除压杆横截面积,便得
式中仅与截面的形状及尺寸有关,若用表示表示,则有
(9-9)
称为截面的惯性半径,单位常用mm。将式(