文档介绍：CHAPTER 4
平面问题的极坐标解答(SOLUTION OF PLANE PROBLEMS IN POLAR COORDINATES)
Differential Equations of Equilibrium in Polar Coordinates
对于用径向线和圆弧线围成的弹性体, 如圆形, 圆环形,楔形, 扇形等,宜用极坐标求解.
在极坐标中, point P 的位置由 radial coordinate ρ and 环向坐标来表示, as shown in .
极坐标和and rectangular coordinates 都是直角坐标. 但两者不同: 在 rectangular coordinates中, x and y axes are all straight lines , 它们有固定的方向, 量纲都是 L. 但在 polar coordinates, ρaxis (=constant) and  axis (ρ=constant) 在不同的点有不同的方向;
ρaxis 是一条直线, and  axis 是圆弧线, ρaxis 的量纲是 L,  axis是无量纲.
为了表明极坐标中的应力分量, 我们考虑由d and d围成的微分体 PACB .在径向方向的用σ表示, 称为径向正应力; σ, 被称为环向 normal stress 或切向正应力, 而剪切应力分量用τ and τ来表示, 且有τ=τ. 在径向和环向的体力分量用 f and f rectangular coordinates一样. 即正面的应力以沿正坐标方向为正, 负面的应力以沿负坐标方向为正, 反之为负. 体力分量以沿正坐标方向为正,反之为负.
现在来推导极坐标下的 the differential equations of equilibrium, 看单元 PACB. 设PB 面的 normal and shear stresses 是σ andτ, 而在面 AC, 由于坐标的变化, 将是和
and
同样, 对于面 PA 是σ andτ, 对面 BC,由于坐标的变化, 是
, 对单位厚度的单元, 面 PB 的面积是d,面 AC 是(+d)d; 面 PA and BC 是 d; 单元的体积是dd.
and
和
,
将微分体所受各力投影到微分体中心的径向轴上, 列出径向微分方程, 得
因为 d很小, , 可取为 d/2 and 1, 用τ代替
τ, 将方程简化, 并除于, 得
与此相类似, 由单元在切向方向的平衡条件可推出:
用τ代替τ, 简化方程, 并除于dd, neglecting 高阶微分项, 得
因此, 极坐标下的平衡微分方程是
()
极坐标的几何和物理方程(Geometrical and Physical Equations in Polar Coordinates)
在极坐标中, 径向应变用表示, 环向应变用表示, 剪应变用 and u 表示.
中, 通过任意点 P(, ) 分别沿正向和环向作微分线段 PA=d, PB=d. 以下来分析微分线段上形变分量和位移分量的几何关系.
首先,假定只有径向位移而没有环向位移如 . 由于这个径向位移, PA移到了P’A’, PB移到了P’B’. 而 points P, A and B 的位移分别为
则径向线段 PA 的线应变为:
环向线段 PB 移到了 P’B’, 从 point P’画一条圆弧线 P’C. P’B’ and P’C之间的角是那样的小, 可认为P’B’ P’C. 因而环向应变为:
PA 的转角为
而 PB 的转角为
( c )
(d )