文档介绍：第7章刚体的基本运动
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刚体的平行移动
刚体的定轴转动
转动刚体内各点的速度和加速度
轮系的传动比
以矢量表示角速度和角加速度
习题与思考题
本章内容
刚体的平行移动
在工程实际中,我们经常遇到某些物体的运动。例如:在直线轨道上行驶的列车车厢的运动();筛沙机中的筛子的运动();桥式起重机的行车的运动()等等。刚体运动时,若其上任一直线始终保持与初始位置平行。这种运动称为刚体的平行移动,简称平动。上述这些构件的运动都具有这种共同特征,因些都是平动。刚体平动时,其上任一点的轨迹是直线,称为直线平动;其上任一点的轨迹是曲线时,称为曲线平动。
在刚体上任选两点A、B。从任一固定点O向A、B两点作矢径、,。
车厢的运动
筛子的运动
行车的运动
刚体AB的矢径
刚体的平行移动
可得
将上式对时间 t 求导数,并注意到BA为常矢,得
再将上式对时间 t 求导数得
由此可见,刚体作平动时,“刚体内所有各点的运动轨迹的形状完全相同。在同一瞬时,所有各点具有相同的速度和相同的加速度”。因此只要确定出刚体内任一点的运动,就知道整个刚体的运动。所以,刚体平动的问题,可归结为点的运动问题来处理。上一章对点的运动已作了研究。
刚体的定轴转动
刚体运动时,其上或其延伸部分有一条直线保持不动,这种运动称为刚体的定轴转动,简称为转动。固定不动的直线称为转轴。刚体的这种运动形式,工程实际中大量存在。如轮系传动装置中的各种旋转机械,水轮机和发电机的转子等。有时转轴不在刚体的内部,而在抽象的扩展的部分上。刚体绕定轴转动时,刚体内不在转轴上的其他各点均作圆周运动。圆周平面与转轴垂直,圆心就在转轴上。
一、转动方程
设有一刚体可绕z轴转动,为确定其位置。过z轴作一定平面S0,过z轴作一动平面S,。开始时,两平面重合,随着时间的延续,两平面打开一角度φ。知φ即知道刚体的位置,φ称为转角(位置角),以弧度(rad)表示,是时间t的单值连续函数。用公式表示为:
上式称为刚体的转动方程。φ为代数量,正负符号规定如下:从z轴的正端往负端看,从固定面起逆时针转向,φ取正值;顺时针转向,φ取负值。
()
刚体的定轴转动
刚体转动
二、角速度ω
刚体转动的快慢用角速度来度量:
平均角速度
(2) 瞬时角速度
单位为,式()表明:“转角φ对时间t的一阶导数,称为刚体的角速度”。
ω为代数量,当dφ>0时,ω>0;当dφ<0时,ω<0。工程上常给出转速n(单位为r/min),换算:
式中n的单位为r/min。
刚体的定轴转动
三、角加速度α
角速度的变化快慢用角加速度来度量:
平均角加速度
瞬时角加速度()

式中a 的单位为弧度/秒2 (rad/s2)。
式()表明:“刚体的角速度ω对时间t的一阶导数,或转角φ对时间t的二阶导数,等于刚体的角加速度α”。α也是代数量。习惯上:ω与α同号为加速转动,异号为减速转动。
四、匀速转动和匀变速转动的情况
刚体的定轴转动
(1) 匀速转动 a=0
ω=常量
φ=φ0+ωt ()

机器中的转动部件或构件,一般在正常工作情况下都应该是匀速转动。
(2) 匀变速转动  a=常量()

()
式中的ω和φ0分别为t =0时的角速度和转角,由上面的公式可以看出:刚体匀变速转动时,刚体的转角φ,角速度ω和角加速度α与时间t的关系,和点在匀变速运动中的弧坐标s,速度v及切向加速度与时间t的关系相似。同样将式()与式()消去时间t,得
()
转动刚体内各点的速度和加速度
工程上经常需要知道转动刚体的运动与刚体上一点的运动关系。即刚体整体的运动和体内一点的运动关系。如:齿轮的转速和圆周上一点的速度的关系等。现在来讨论这个问题。
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到转动轴的距离为ρ,M点的轨迹是半径为ρ的一个圆,。
刚体绕z轴转动
转动刚体内各点的速度和加速度
一、M点的运动方程
若以MO为计算起点,则当刚体转动φ角时,(b)可知:
上式为用自然法表示的M点的运动方程。
()
二、M点的速度
M点速度的代数值为:
由式()可知:,即速度与半径成正比;方向沿轨迹的切线,即方向垂直于半径,指向与ω转向一致。(a)所示。
()