文档介绍：第11章动量定理
返回总目录
质点的动量定理
质点系动量定理
质量中心质心运动定理
习题与思考题
本章内容
质点的动量定理
设有一质点M,质量为m,在力F的作用下运动,(a)所示。由方程有
质点的动量及其矢量三角形
当质量m为常量时,上式可以改定写成
由物理学知,质点的质量m与速度v的乘积mv称为点的动量。所以上式表明,质点的动量对于时间的导数,等于作用于质点的力。
将上式改写成d(mv)=Fdt,并求两边对应地积分,时间t从t1到t2,速度v从v1到v2,就得到
()
()
质点的动量定理
上式中右边的是在时间t1到t2内,无穷多微分矢量之和的极限,称
为F在t1到t2时间内的冲量,用I表示。自然,如果F是常量,
则。方程表明,质点的动量在一段时间内的增量,等
于作用于质点的力在同一段时间内的冲量,这就是质点的动量定理,也称之冲量定理。

方程可以用矢量三角形表示,(b)所示。

动量是表征机械运动的物理量,大家都知道,枪弹的质量尽管很小,但因为速度很大,所以能对阻碍其运动的物体产生很大的打击力;轮船靠岸时,速度很小,但由于质量很大,如果不慎,也会撞坏码头;质量相同而速度不同的两辆汽车,速度大的比速度小的更难于刹车。这些例子表明,动量作为质量与速度的乘积,能反映机械运动的某些特征,它可以作为机械运动的一种量度。
质点的动量定理
动量是一个矢量,它的方向与速度v一致。动量的量纲是,也可以表示为
动量的单位,在国际单位制中用kgm/s或Ns。

冲量是作用于物体的力在一段时间对物体运动所产生的累积效应。推动车子,用较大的力可以在较短的时间内达到一定的速度,要是用较小的力,但作用时间长一些,也可达到同样的速度。就是说,较大的力作用较短的时间与较小的力作用较长的时间,其总效应相同,这是大家都熟悉的经验。不计空气阻力时,抛射体在自重的作用下不断改变速度的大小和方向,时间越长,速度改变越大,可见重力的总效应随着时间增加而愈显著。冲量就是表示力的这种效应的物理量。
冲量S是一个矢量,常力的冲量的方向与力F的方向相同。冲量的量纲为
质点的动量定理
冲量的单位,在国际单位制中用Ns,在工程单位制中用kgs。
如果作用于质点的力不只是一个而有若干个,设为,其合力为F,而,则
( )
质点的动量定理
即在一段时间内,合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和。将式投影到固定直角坐标轴上,并用Ix,Iy,Iz代表冲量I的投影,则得
()
即在任一段时间内,质点的动量在任何一固定轴上的投影的增量,等于作用于质点的力的冲量在同一轴上的投影。这就是投影形式的质点动量定理。
质点系动量定理
设有n个质点组成的质点系,取其中一质点Mi来考察,令质点Mi的质量为mi、速度为vi,作用于质点Mi的所有力的合力为Fi,则由公式()有
(1)
应当注意,在所有作用于质点Mi的那些力中,既有所考察的质点系内其它质点对该质点Mi的作用力,也有质点系之外的物体对质点Mi的力。
以后,我们将把所考察的质点系内各质点之间相互作用的力称为内力,所考察的质点系之外的物体作用于该质点的力称为外力。
必须指出,内力与外力的区分是相对的。随着所取的考察对象不同,同一个力可能是内力,也可能是外力。例如,将一列火车作为考察对象,则机车与第一节车厢之间相互的作用力为内力,但如将机车与车厢分作两个质点来考虑,它们之间相互作用的力就成为外力。
质点系动量定理
内力既然是质点之间相互作用的力,根据反作用定律,这些力必然成对出现,而且每一对都是大小相等、方向相反而且作用线相同。因此,对整个质点系来说,内力系的主矢量以及对任一点的主矩都等于零,或者说,内力系所有各力的矢量和等于零,内力系对任一点或任一轴的矩之和也等于零。
用与分别表示作用于质点Mi上外力的合力与内力的合力,则,代入方程(1)后,得
(2)
对质点系中每一个质点写出这样一个方程,共有n个方程相加,即得
根据矢量运算法则
(3)
(4)
质点系动量定理
而是质点系各质点的动量之和,称为质点系的动量,用K表示,即
()
方程的右边第一项为作用于质点系外力的矢量和。第二项为作用于质点系的内力的矢量和。上面已经说明,内力的矢量和
等于零, ,于是方程(3)变成为
()
即,质点系的动量对于时间的导数,等于作用于质点系的外力的矢量和。这就是质点系的动量定理。
任取固定的直角坐标轴,将方程两边投影到各轴上,并注意矢量导数的投影等于矢量投影的导数,于是有
()