文档介绍：第15章虚位移原理
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约束、自由度和广义坐标
虚位移
虚位移原理
习题与思考题
本章内容
约束、自由度和广义坐标
一、约束与约束方程
一质点系不受任何限制可在空间作自由运动,这样的质点系称为自由质点系;若质点系中各质点的位置和运动受到一定限制,则称此质点系为非自由质点系。限制质点或质点系位置和运动的各种条件,称为约束,这些限制条件用数学方程表示出来,称为约束方程。根据约束的形式和性质,约束可分为如下几类:
1. 几何约束和运动约束
只限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。,其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动,摆长为l。由于刚杆OM的限制,质点M必须在以点O为圆心、以l为半径的圆周上运动。若以x、y表示质点的坐标,则其位置坐标必须满足条件
单摆
约束、自由度和广义坐标
上式称为约束方程。
又如,,那么球面方程就是质点M的约束方程,即
质点在球面上的运动
几何约束的约束方程建立了质点间几何位置的相互联系。
除几何约束外,限制质点系运动情况的运动学
条件,称为运动约束。,半径为r的
圆轮在水平面上沿直线轨道只滚不滑,由于约束
的限制,轮子与轨道接触点的速度为零。设轮心
C的速度为,轮子的角速度为,则轮
子在每一瞬时有:
上式建立了轮心速度与轮子角速度之间的关系,该方程即为运动约束方程。
光滑水平面往复滑动,设其运动规律为。又在滑块上连接一单摆,摆杆长为l,则质点M的约束方程为
约束、自由度和广义坐标
2. 定常约束和非定常约束
如果约束方程中不显含时间t,即约束不随时间而变,这种约束称为定常约束。如前述单摆的约束方程不显含时间t,属于定常约束。
若约束方程中显含时间t,约束条件随时间变化,这种约束称为非定常约束。,一与弹簧相连的滑块A可沿
运动约束
上式中显含时间t,所以是非定常约束。
非定常约束
约束、自由度和广义坐标
3. 双面约束和单面约束
,摆杆是一刚杆,它限制质点沿杆的拉伸方向位移,又限制质点沿杆的压缩方向位移,这种约束称为双面约束(或称为固执约束)。双面约束的约束方程是等式。,轨道只限制它向下的运动,这种约束称为单面约束(或称为非固执约束)。单面约束的约束方程是不等式。
4. 完整约束和非完整约束
如果约束方程中不包含坐标对时间的导数,或者约束方程中的微分项可积分为有限形式,这种约束称为完整约束。例如,,其运动约束方程可以积分为有限形式,即
所以轮子受到的约束是完整约束。
如果约束方程中包含坐标对时间的导数,而且约束方程不可能积分为有限形式,这种约束称为非完整约束。非完整约束总是微分方程的形式。
本章只讨论受定常的双面几何约束的质点系的平衡问题。
约束、自由度和广义坐标
二、自由度和广义坐标
确定一个具有几何约束的质点系在空间的位置所需独立坐标的数目,称为质点系的自由数目,简称为自由度。,机构简化为销A和滑块B两个质点组成的质点系。它们受到的约束:销A只能以点O为圆心,以r为半径作圆周运动;滑块B与销A间的距离保持为杆长l;滑块B始终沿滑道作直线运动。这三个约束用约束方程表示为
曲柄连杆机构
约束、自由度和广义坐标
系统有四个直角坐标而有三个约束方程,所以它只有一个独立坐标,即只有一个自由度。
一般地说,具有n个质点的质点系,如果受到s个约束,有s个约束方程,则其自由度的数目是
由于约束的存在,用以确定质点系位置的直角坐标并不是彼此独立的,因此,可适当选用个独立参变量来确定质点系的位置。用来确定质点系位置的独立参变量,称为质点系的广义坐标。对于受完整约束的质点系,广义坐标的数目等于自由度数目。
,只需一个广义坐标便可唯一地确定其位置。选用曲柄与水平线的夹角来表示系统的位置,当给定就能唯一地确定整个系统的位置,角即为此机构的广义坐标。
虚位移
由于约束的存在,非自由质点系中各质点的位移受到一定的限制,有些位移是约束所允许的,另一些位移是约束所不允许的。在某瞬时,质点系在约束所允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移,也可以是角位移。虚位移用变分符号δ表示。例如,,过M点的切面内任何微小位移δr都是约束所允许的,是质