文档介绍：7 空间任意力系 力对点的矩与力对轴的矩
力对点的矩用矢量表示:
在空间问题中,力矩使物体转动的效果具有三个因素:力作用线与矩心所决定的平面的方位;力矩的大小;力矩矩心所决定的平面内的转向。
力矩是力使物体绕点转动效果的度量,这三个因素表明,力矩可以用矢量来表示:用矢量的方位表示力矩作用面法线的方位,用矢量的长度按一定的比例表示力矩的大小,矢量的指向按右手螺旋法则表示力矩的转向。此矢量称为力对点的矩矢。
当矩心的位置发生变化时,力矩矢量的大小和方向也随之发生变化。因此,规定将矩心作为力矩矢量的起点。力矩矢量是定位矢量,与力偶矩不同,不能自由移动。
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力对点的矩矢等于由矩心引向力的作用点的矢径与该力的矢量积,即:
7. 1. 2 力对轴的矩
力对轴的矩是力使该刚体绕轴转动效果的度量,它是一个代数量,其绝对值等于力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平面交点的矩,其正负号代表力使刚体绕轴转动的转向。根据力对轴的矩的定义,在力与轴平行或力与轴相交时,,可以用力对轴的矩来度量力使物体绕任意轴的转动效果。
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力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
设力F作用于刚体的A点,任取一点O为矩心,则力F对点O的矩矢的大小为m0(F)=2△OAB面积,力矩矢的方位与三角形OAB垂直,其指向按右手法则给定。
过矩心O作任一轴Z,该轴与力F对O点矩矢的夹角为γ,过O点作平面xy,使其与轴Z垂直,将力投影到XY平面上
按力对轴的矩的定义,力F对轴Z的矩为
根据几何关系有:
即力对任意点的矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴的矩。
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空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩
空间任意力系向一点的简化方法与平面任意力系向一点的简化方法基本相同。将各力等效地平移到简化中心O点,得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系。此力系可以合成为作用于简化中心的一个合力,它的力矢称为空间任意力系的主矢,它等于各力矢的矢量和。
附加的空间力偶系中的力偶矩矢为:
它称为空间任意力系相对于简化中心O的主矩,它等于力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和。
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一般情况下,空间任意力系由n个力组成,该力系向任意点O简化的主矢和主矩应为
所以,空间任意力系向一点简化,可得到一力和一力偶。
主矢的投影:
主矢的大小:
主矢的方向:
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其中α,β,γ是主矩矢与x,y,z的正向夹角。
【例题 7-3】可按教材详细讲解
主矩的大小:
主矩的方向:
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空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件是: 力系的主矢和主矩分别等于零。
空间平行力系的平衡方程为三个:
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【习题 7-11】有一均质等厚的板,重为200N,角A为球铰,B点用铰链与墙壁相连,再用一索EC维持于水平位置。∠ECA=∠BAC=30,求索内的拉力及A,B处的反力。
解:设球铰A及B的反力均沿坐标正向,索EC受拉
NCE=200 XB=0 ZB=0
XA= YA=150KN ZA=100KN
∴
空间力系的平衡问题
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物体的重心 平行力系的中心与重心
空间平行力系的合力作用点称为空间平行力系的中心,物体的重心于物体本身是一确定的几何点,不随物体位置的移动而变化。
重心与形心的坐标公式:
匀质物体的重心位置与物体的重力无关,完全取决于物体的大小和形状,,完全取决于物体的大小和形状,所以匀质物体的重心又称为形心.
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确定物体重心的几种方法
【例题 7-7】用积分法计算扇的形心坐标。
(半径为r,角度为α)
解:取坐标如图所示,由于图形对称,Yc=0,取一微分面积为底边ds=rdθ,高为r的三角形面积:
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