文档介绍：第五章轴对称运动
轴对称运动
鱼雷、火箭、炮弹、潜艇等的运动是轴对称运动。
轴对称流动中,任一通过对称轴的平面上的流动图案都是相同的。
要形成轴对称流动,物体外形必须是轴对称的,而且来流必须沿着对称轴方向。
本章采用球坐标( )描述轴对称流动。由于轴对称,流动具有如下特点,
速度势
在无旋流动中存在速度势
对于不可压缩流体,
平面流动的流函数满足连续方程。在三维流动中,一般无法找到一个标量函数满足连续方程,但在轴对称运动条件下,这样的流函数是存在的。
Stokes 流函数
Stokes 流函数
不可压缩流体在球坐标下的连续方程
令
则自动满足连续方程.
称 Stokes 流函数。
Stokes 流函数
无旋流动的 Stokes 流函数方程
平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程,Stokes流函数在无旋条件下满足的方程不是拉氏方程。
设无旋流动
通常通过求解的拉氏方程得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解。在有旋流动中,势函数不存在,只有应用流函数才能找到一个标量方程来代替矢量形式的运动方程。
Stokes 流函数
Stokes 流函数的性质
过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以,等于通过以这两点的任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。
A
B
势流方程的解
分离变量
满足拉氏方程,
两边同乘以
方程一边是 r 的函数,一边是的函数,要恒等必需两边均等于常数,
式中 l 可为整数也可为非整数。
勒让德方程
势流方程的解
是第一类勒让德函数,当 l 不为整数时,其在时发散。取
l 取整数。
上式为勒让德方程,通解为
为第二类勒让德函数,当时对所有的 l 值发散,所以应取
势流方程的解
欧拉方程
为欧拉方程,对于非负整数,欧拉方程通解可写为,
R 的方程,
势流方程的解
势函数通解
根据线性方程解的叠加原理,势函数的通解可由勒让德方程的解和欧拉方程的解叠加而成,
勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为,
其前3项分别是,