文档介绍：中国石油大学(华东)
数学与计算科学学院
数值计算方法
putational Method
教材(Text Book)
数值计算方法李维国、黄炳家、同登科、王子亭编著
(石油大学出版社,2004年)
参考书目(Reference)
数值计算方法(上、下册) 林成森编著
(科学出版社 1998年)
Principle of Numerical Analysis
数值分析原理封建湖、车刚明、聂玉峰编著
(科学出版社,2001年)
课程评分方法(Grading Policies)
平时成绩和上机实验(25%左右)
期末考试成绩(75%左右)
提问:数值计算方法是做什么用的?
研究对象:数值问题——有限个输入数据(问题的自变量、原始数据)与有限个输出数据(待求解数据)之间函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
求函数解析表达式
数学问题
求函数在某些点
的近似函数值
数值问题
程序
设计
上机
计算
设计高效、可
靠的数值方法
数值
问题
求解
近似结果
输出
重点讨论
数值问题的来源:
实际
问题
建立数学模型
数值
问题
数值方法的设计原则
收敛性:方法的可行性
稳定性:初始数据等产生的误差对结果的影响
便于编程实现:逻辑复杂度要小
计算量要小:时间复杂度要小,运行时间要短
存贮量要尽量小:空间复杂度要小
可靠性分析
计算复杂性
误差估计:运算结果不能产生太大的偏差且
能够控制误差
§1 误差/* Error */
一、误差的来源与分类/* Source & Classification */
1、从实际问题中抽象出数学模型
——模型误差/* Modeling Error */
2、通过观测得到模型中某些参数(或物理量)的值
——观测误差/* Measurement Error */
3、数学模型与数值算法之间的误差求近似解
——方法误差(截断误差/* Truncation Error */ )
4、由于机器字长有限,原始数据和计算过程会产生新的误差
——舍入误差/* Roundoff Error */
二、误差分析的基本概念/* Basic Concepts */
设为真值(精确值), 为的一个近似值
称为近似值的绝对误差,简称误差。
注:
误差可正可负,常常是无限位的
绝对误差限/* accuracy */ ——绝对值的上界
如:
绝对误差还不能完全表示近似值的好坏
(绝对误差/* absolute error */)
近似值的误差与准确值的比值:
称为近似值的相对误差,记作
注:
实际计算时,相对误差通常取
因为
(相对误差/* relative error */ )
相对误差也可正可负
(有效数字/*Significant Digits*/ )
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
/* relative accuracy */
如:
3位
6位
若近似值与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位,该位到的第一位非零数字共有位,则
称有位有效数字