文档介绍：2012年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)
,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是.
: ,则的最小可能值是.
,,
,则.
,则实数的取值范围是.
,是边长为的正方形的内接三角形,已知,,则.
.[来源:学科网]
,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是.(用数字作答)
:.若,则正整数的最小值为.
[来源:]
二、解答题
9.(本题满分14分)如图,在平行四边形ABCD中,,,对角线AC与BD的夹角,记直线AB与CD的距离为.
求的表达式,并写出x的取值范围.
10.(本题满分14分)给定实数,求函数的最小值.
11.(本题满分16分)正实数满足,求证:
(1);
(2).
12.(本题满分16分)给定整数,记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值:
(a) ;
(b) A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和.
(1)求的值;
(2)求证:.
[来源:Z。xx。]
2012年上海市高中数学竞赛答案
1、 2、92
3、11 4、
5、 6、
7、 8、4025

. ①
…………………(2分)
在△OBC中,由余弦定理
,
所以, ②
由①,②得. ③
…………………(5分)
所以
,
故,
所以. …………………(10分)
由③可得,,故.
因为,结合②,③可得
,
解得(结合) .
综上所述,,. …………………(14分)
.
当时,,此时
,
且当时不等式等号成立,故.
…………………(6分)
当时,,此时“耐克”函数在内是递减,故此时
.
综上所述, …………………(14分)
(1)记,由平均不等式
.
…………………(4分)