文档介绍：2006 年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1. 已知△ABC,若对任意 t ∈ R , BA − tBC ≥ AC ,则△ABC 一定为
B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定【答】( C )
【解】令∠=ABC α,过 A 作 AD⊥ BC 于 D。由 BA − tBC ≥ AC ,推出
222
BABCi
2 令,代入上式,得
BAtBABCtBCAC−+≥2 i , t =
2
BC
22
22
22
BABA−+≥2coscos22αα BAAC,即 BAACsin2 α≥, 也即 BAACsinα≥。
π
从而有 AD≥ AC 。由此可得∠=ACB 。
2
2
2. 设 logxx (2xx+− 1) > log 2 −1 ,则 x 的取值范围为
1 1
A. <<x 1 B. x >≠,且 x 1 C. x >1 D. 01< x < 【答】( B )
2 2
⎧ xx>≠0, 1 1
【解】因为,解得由 2
⎨ 2 x >≠,1x . logxx (2xx+ −> 1) log 2 −1
⎩210xx+−> 2
⎧ 01<<x
32 解得;
⇒+−>logxx (2xxx ) log 2 ⇒⎨ 32 01< x <
⎩22xxx+ −<
⎧ x >1 1
或解得,所以的取值范围为且
⎨ 32 x >1 x x >≠, x 1.
⎩22xxx+−> 2
3. 已知集合 A = {}x 5x − a ≤ 0 , B = {x 6x − b > 0}, a,b ∈ N ,且 ABN∩∩={2,3, 4} ,则整数
对()a,b 的个数为
A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】( C )
a b
【解】 50xa−≤⇒≤x ; 60xb−> ⇒>x 。要使 ABN∩∩={2,3, 4} ,则
5 6
⎧ b
⎪12≤<
⎪ 6 ⎧ 612≤<b 11
⎨,即⎨。所以数对(a,b)65= 30 。
a 20≤<a 25
⎪45≤< ⎩
⎩⎪ 5
- 1 -
π
4. 在直三棱柱 ABC− ABC中, ∠BAC = , AB= AC== AA 1 . 已知G与E分别为 AB 和
111 2 1 11
CC1 的中点,D与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点). 若 GD⊥ EF ,则线段 DF 的
长度的取值范围为
⎡⎞1 ⎡⎞1 ⎡⎡ 1 ⎞
A. ⎢, 1⎟ B.⎢, 2⎟ C. 1, 2 ) D. ⎢, 2⎟【答】( A )
⎣⎠5 ⎣⎠5 ⎣⎣ 5 ⎠
【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则 Ft(,0,0)1
1 1
1
( 01<<t ), E(0,1, ) , G(,0,1), Dt(0, ,0) ( 01< t