文档介绍：第四章理论分布与抽样分布
第一节事件和概率的基本概念
事件
我们把试验作为一个广泛的术语,包括科学试验、调查和观察。例如抛一枚硬币观察落地后哪一面向上和在一袋种子中取出一粒测定其能否发芽等都可看做是一次试验。显然这样的试验可以在相同的条件下重复进行,每次试验可能的结果有多个。
1、随机事件:把一次试验所有可能的结果都称为事件。
一次试验中必然要发生的结果称为必然事件。
一次试验必然不发生的结果称为不可能事件。
一次试验中可能发生也可能不发生的结果则称为随机事件。
虽然在一次试验中随机事件能否出现很难预料,但如果多次重复同一试验,随机事件的出现与否却是有规律的。
2、互斥事件:如果事件A和事件B不同时发生,称A和B互斥事件。
3、对立事件:事件A和事件B是互斥的,但必发生其中一,就称事件B为事件A的对立事件,记B为。
4、独立事件:事件A与事件B的发生与否各自彼此无关,称事件A与事件B是相互独立的。
例:如同时播下两粒种子,第一粒种子的发芽与否与第二粒种子是否发芽是无关的,因此这两粒种子的发芽与否是相互独立的。
概率
1、随机事件的发生规律必须通过大量的试验观察才能得到。试验次数与随机事件A发生次数的比值称为事件A的频率(frequency)。,从中可以看出随着种子粒数(试验次数)的增加,。
频率的稳定性揭示了随机事件发生的规律性。频率稳定在较大数值表明该事件发生的可能性较大,稳定在较小数值表明该事件发生的可能性较小。我们定义:设事件A在n次试验中出现了m次,随着n的增加事件A出现的频率所稳定趋近的数值p为事件概记为P(A)=p ()
由于频率总是介于0和1之间,因此概率也必然介于0和1之间,即0≤p≤1。
许多情况下p很难准确获得。通常以n充分大时事件A出现的频率作为它的概率的估计值,即()
(发芽率)可用n为500时的频率来估计,即。、通过频率计算估计的概率称为统计概率或经验概率。
2、另一些情况下p可以准确求出。第一种情况是试验可能的结果数是有限的,且每一种结果的出现是互斥和等可能的。此时,
p= P(A)=
事件A包含的结果数
()
试验所有可能的结果数
例如,在0,1,……,9中随机抽取一个数字有10种可能的结果,每个数字被抽取的机会相等且互斥。设A为抽取的数字≤3,则它包含了0,1,2和3四种结果,因此。这样计算求得的概率称为古典概率。
3、另一种情况是根据已知的概率分布理论来计算概率,这样求得的概率称为理论概率。本章后面有关二项分布和正态分布的概率计算均属此类。
概率的计算法则
互斥事件的概率法则(加法定理)
如果事件A和事件B互斥,概率各为P(A)和P(B),那么它们的和事件的概率为:
P(A+B)=P(A)+P(B) ()
2、对立事件的概率法则
如果事件A的概率为P(A),那么其对立事件的概率为:
P()=1-P(A) ()
对立事件的概率法则乘法定理
随机事件A和B的积事件的概率为
P(AB)=P(A)P(B/A) ()
其中P(B/A)称为条件概率,意为在事件A已发生的条件下事件B发生的概率。
特殊地,如果A和B相互独立,那么B的发生与否与A无关,即P(B/A) =P(B),所以,
P(AB)=P(A)P(B) ()
概率的加法定理和乘法定理都适用于多个随机事件的概率计算。
1〕一口袋中装有6个球,其中红球2个,白球4个。从口袋中随机取球2次,每次取1个。考虑两种情况:(1)第一次取球观其颜色后放回袋中,这叫放回抽样;(2)第一次取球后不放回袋中,这叫不放回抽样。试就这两种情况分别求2个都是白球和至少有1个白球的概率。
本题属古典概率计算。设A为第一次是白球,B为第二次是白球。2次都是白球是A和B的积,至少有1个白球是A和B的和。第一次取球有6种等可能且互斥的结果,其中4种是白球,因此,
对于放回抽样,第二次取球与第一次无关,结果与第一次一样,所以
对于不放回抽样,在第一次已取得白球的条件下,第二次有5种等可能且互斥的取法,其中3种是白球,所以
第二节随机变数及其分布
随机变数
许多试验的结果用数值来表示,例如人的身高和作物的产量等,但重复试验得到的数值不完全相同,也就是说试验结果不是一个确定的数值而是一个变数(variable)。每次试验中此变数到底是多少受偶然因素的影响,不能事先确定。这种随偶然因素而变化的变数称为随机变数(random variable)。在试验之前随机变数是一个不确定的量,有许多可能的取值。但在试验中只有其中的一个可能取值得到了实现。这种实现了的取值称为观察