文档介绍：第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)
(150分钟)
一、(25分,每小题5分)
(1)设其中求
(2)求。
(3)设,求。
(4)设函数有二阶连续导数,,求。
(5)求直线与直线的距离。
解:(1)=
===
(2)
令x=1/t,则
原式=
(3)
(4)略(不难,难得写)
(5)用参数方程求解。答案好像是
二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且
且存在一点,使得。
证明:方程在恰有两个实根。
解:(简要过程)
二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开
因为二阶倒数大于0,所以
,
证明完成。
三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。
解:(这儿少了一个条件)由与在出相切得
,
=。。。
上式可以得到一个微分方程,求解即可。
四、(15分)设证明:
(1)当时,级数收敛;
(2)当且时,级数发散。
解:
(1)>0, 单调递增
当收敛时,,而收敛,所以收敛;
当发散时,
所以,
而,收敛于k。
所以,收敛。
(2)
所以发散,所以存在,使得
于是,
依此类推,可得存在
使得成立
所以
当时,
所以发散
五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均匀椭球
,其中(密度为1)绕旋转。
(1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
解:
(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性,
(2)
当时,
当时,
六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。
(1)设为正向闭曲线证明
(2)求函数;
(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。
解:
L不绕原点,在L上取两点A,B,将L分为两段,,再从A,B作一曲线,使之包围原点。
则有
令
由(1)知,代入可得
上式将两边看做y的多项式,整理得
由此可得
解得:
取为,方向为顺时针
(最后一步曲线积分略去,不知答案对不对)