文档介绍：一、(20分)计算下列各题:
求极限
解法1
因
(*)
而
(**)
将(**)代入(*),然后取极限,得
原式

上式中含的项的系数为,含的项的系数为,常数项系数为
解法2 Step 1
因
故

Step 2因
因此
(*)
于是
原式
计算,其中为下半球面
的上侧, .
解记为平面的上侧,为下半球面的下侧,是由和所围成的立体,则
,
设则
现设计一个容积为的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积
元,而侧面的材料费为单位面积元. 试给出最节省的设计方案;即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少?
解设圆柱体的底半径为,高为,则,总造价为
,
则
,
由知,解得,,
因为是惟一的驻点,所以当
时,所需费用最少.
已知,,求
解因,,故
令,则
令,,则
令,则,
因此
二、(10分)求下列极限
解设, 则
原式=
,其中,,
解因
故原式=
三、(10分)设在处可导,,,求
解设在处可导,,,则
四、(10分)设在上连续,收敛,求.
解令,则因收敛,故,不妨设,则
五、(12分)设函数在上连续,在内可微,且,,证明:(1)存在使得;(2)存在使得.
证(1)记,则函数在上连续,且,,故由零点存在性定理知存在使得,即.
(2)因
故令, 则函数在上连续,在内可微,,,, 故由罗尔定理知,存在使得, .
六、设在上有定义,在的某邻域内有一阶连续导数,且,证明级数条件收敛.
证因,故存在一个正数,使得当时,有
因此(),于是,当时, ,