文档介绍：2010年大学生数学(非数学类)竞赛培训模拟试卷B答案
一、解答下列各题
.
解先设则

而故
其次由于

一方面有:
①
一方面有:

②
综合①②有:
即有
再就有
而所以
,计算.
解==
一方面由曲面积分的奇偶性另一方面由曲面积分的对称性
于是=
==
==
,在任意闭区间上可积,且对任意实数,满足
已知,求.
解1 令得:
两边积分:
又令;
由的对称性变形,当时:
令得于是
解2 记对任意固定得将题设等式在区间上对求积分,有

令,得,于是
由已知条件和上式可得到连续且可导,对求导得:

再对已知等式中令得,代人上式整理得:
从而
由以知等式知,故,所以
二、证明下列各题
,且和在内有界,证明和在内有界.
证依题意存在正常数使对一切,恒有
由泰勒公式:,其中介于与之间;
,其中介于与之间;
上两式相加,整理得:
所以
再由两式相减,整理得:
所以
综上所述,和在内有界.
,函数连续,单调减少,证明:.
证作辅助函数,则在内单调减少。因为则当时,;
则当时,
所以在单调增加,在单调减少,于是在处取最大值,从而,对于任意
,恒有,又显然,于是
故,所以所以。
三、设函数具有二阶连续偏导数,试求常数的值,使得变换可把方程简化为.
解因为,
所以,
代入方程得: 则有:
即
四、求圆柱面()被平面截下的部分的面积,
其中,,而
解先求平面方程:因为

所以平面方程为:
再求圆柱面()被平面截下的部分的面积:
圆柱面()于平面的交线以及截下的部分如图:
由截面的对称性,考虑
=
五、已知,,求级数的和.
解因为
所以=
==
记, ,
因为,于是
所以
六、设函数在区间上有定义,如果对于任意及任意实数
,恒有
,
:在内可导的函数为凸函数的充分必要条件是对任意都有
.
证明必要性设是区间上的凸函数,则对任意及任意实数,有,