文档介绍：普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复****教案(讲座29)—等比数列
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,理解等比数列的概念;
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,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。
等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位,是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用,对基本的运算要求比较高,解答题大多以数列知识为工具。
预测07年高考对本讲的考察为:
(1)题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目;
(2)关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点;
(3)解决问题时注意数学思想的应用,象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等,它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即::数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,5,。(注意:“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零)
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说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比时该数列既是等比数列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知:若为等比数列,则。
如果在中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。
一般地,设等比数列的前n项和是,当时, 或;当q=1时,(错位相减法)。
说明:(1)和各已知三个可求第四个;(2)注意求和公式中是
,通项公式中是不要混淆;(3)应用求和公式时,必要时应讨论的情况。
题型1:等比数列的概念
例1.“公差为0的等差数列是等比数列”;“公比为的等比数列一定是递减数列”;“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”;“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”,以上四个命题中,正确的有( )
解析:四个命题中只有最后一个是真命题。
命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列;
命题2中可知an+1=an×,an+1<an未必成立,当首项a1<0时,an<0,则an>an,即an+1>an,此时该数列为递增数列;
命题3中,若a=b=0,c∈R,此时有,但数列a,b,c不是等比数列,所以应是必要而不充分条件,若将条件改为b=,则成为不必要也不充分条件。
点评:该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论,为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。
:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;
命题2:若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列;
命题3:若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列;上述三个命题中,真命题有( )
解析: 由命题1得,a1=a+b,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)·an-1。若{an}是等比数列,则=a,即=a,所以只有当b=-1且a≠0时,此数列才是等比数列。
由命题2得,a1=a+b+c,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2na+b-a,若{an}是等差数列,则a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有当c=0时,数列{an}才是等差数列。
由命题3得,a1=a-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a-1,显然{an}是一个常数列,即公差为0的等差数列,因此只有当a-1≠0;即a≠1时数列{an}才又是等比数列。
点评:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,上述三个命题均涉及到Sn与an的关系,它们是an=,正确判断数列{an}是等差数列或等比数列,都必须用上述关系式,尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题,选择A。
题型2:等比数列的判定
例3.(2000全国理,20)(Ⅰ)},=2n+3n,+1-pcn}为等比数列,求常数p;(Ⅱ)设{an}、{bn}=an+bn,}不是等比数列。
解析:(Ⅰ)解:+1-pcn}是等比数列,
故有:(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1),
将cn=2n+3n代入上式,得:
[2n+1+3n+