文档介绍：MN A C EB D 下图表示的为某班的座位排列情况,,C, D,E五位同学的作为如图所示,他们的座位存在怎么样的关系?同学C、D、E与同学A、B之间的距离有什么特征? ①直线MN是线段AB的垂直平分线②猜测:直线MN上的点到A、B两点的距离相等猜测 1:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。已知:如图,直线 MN ⊥线段 AB, 垂足为 C, 且 AC=CB. 求证: PA=PB AB P MN C 证明: ∵ MN ⊥ AB 于点 C(已知) ,∴∠ PCA = ∠ PCB= 90°(垂直的定义). 在△ PAC 和△ PBC 中, AC=BC (已知) , ∠ PCA = ∠ PCB (已证) , PC= PC (公共边) ∴△ PAC ≌△ PBC ( SAS ).∴ PA=PB (全等三角形的对应边相等) . 定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。AB P MN PA=PB 点P在线段 AB 的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 A B P MN∵点P在线段 AB 的垂直平分线上(已知) ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。) 猜测2:到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上。已知:如图, PA=PB 求证: P在 AB 的垂直平分线上证明:过 P点作 MN ⊥ AB ,垂足为C ∵ PA=PB (已知) ∴ AC=BC (等腰三角形的“三线合一”) AB P MN C ∴ MN 是 AB 的垂直平分线∴P在 AB 的垂直平分线上定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 点P在线段 AB 的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。点P在线段 AB 的垂直平分线上 PA=PB 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上∵ PA=PB (已知) ∴点P在线段 AB 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) A B P M N 例1 已知:如图, AB=AC=8cm ,DE 是 AB 边的中垂线交 AC 于点 E, BC=6cm ,求△ BEC 的周长 E D B C A 证明: ∵ DE 是 AB 边的中垂线(已知), ∴ AE=BE (线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等). ∴ AE+EC=BE+EC=8cm (等式性质) . ∵ AC=8cm (已知) ,∴C △ BEC =BE+EC+BC =8+6=14cm 又∵ BC=6cm (已知) 有垂直平分线, 就有等腰三角形的产生例2 已知:如图,Δ ABC 中,边 AB , BC 的垂直平分线交于 P. 求证: (1) PA=PB=PC; (2)点 P在边 AC 的垂直平分线上 B AC DE FG P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段 BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段 AB的垂直平分线上分析: 题型转换:证明三角形的三条边的垂直平分线相交于一点