文档介绍：1 第一篇内容提要与典型例题分析第一章行列式 教学目的要求 1 .会求 n 元排列的逆序数; 2. 熟练掌握计算 2 阶和 3 阶行列式的对角线法则; 3 .深入领会行列式的定义; 4 .掌握行列式的性质,并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式; 5 .灵活掌握行列式按(列)展开; 6 .理解代数余字式的定义及性质; 7 .会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解. 重要公式与结论 . 1n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn nn n naaa aaa aaaD... ............ ... ... 21 222 21 112 11? np pp tpppaaa ...)1( 21) ...(???. 其中 nppp... 21 是n 个数 12…n 的一个排列,t 是此排列的逆序数,∑表示对所有 n元排列求和,故共有 n !项. . 2 行列式的性质 1. . 行列式的两行(列)互换,行列式改变符号. 3. 行列式中某行(列)的公因子可提到行列式的的外面,或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行(列) .4. 行列式中若有两行(列)成比例,则该行列式为零. 5. 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和, 即2 nn nn inii n nn nn in iniiii naaa aaa aaaaaa bababa aaa?????????????????? 21 21 112 11 21 2211 112 11????+nn nn inii naaa bbb aaa????????? 21 21 112 11 (列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变. . 3 行列式按行(列)展开。设D为n 阶行列式,则有??? nK jk ik aA 1?????????ji jiDAaAaAa jn injiji0 ... 2211??? nK jk ik aA 1?????????ji jiDAaAaAa jn injiji0 ... 2211 其中 stA 是 sta 的代数余子式. . 4 克拉默法则 1. 如果线性非齐次方程组的系数行列式 0... ............ ... ... 21 222 21 112 11?? nn nn n naaa aaa aaaD , 则方程组有唯一解 D Dx ii?( i=1 ,2,…,n), 其中 iD 是D 中第 i 列元素(即 ix 的系数)换成方程中右端常数项所构成的行列式. 2. 如果线性齐次方程组的系数行列式 0?D ,则方程组只有唯一零解. 若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式 0?D . . 5 一些常用的行列式??????????????????? nn nn nn nn nnbxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa???????? 2211 222 22 1 21 112 12 1 11???????????????????0 0 0 2211 22 22 1 21 12 12 1 11n nn nn nn nnxaxaxa xaxaxa xaxaxa???????? 3 1. 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.? nn n na aa aaa...00 ............ ...0 ... 222 112 11? nn nnaaa aa a... ............ 0... 0...0 21 22 21 11? nna a a...00 ............ 0...0 0...0 22 11nnaaa? 22 11 . kk k kaa aaD????? 1 1 11 1?,nn n nbb bbD????? 1 1 11 2?,则 2111 1 11 1 11 1 1 aa aa nn nnk n nk kk k k????????????????. 3. 范德蒙行列式)(... ............ ... 1...11 1112 11 21ijnjinn nn naaaaa aaa?????????. . 6. 计算行列式的常用方法: 1. 利用对角线法则计算行列式,它只适用于 2、3 阶行列式; 2. 利用 n 阶行列式定义计算行列式; 3. 利用行列式的性质化三角形法计算行列式; 4. 利用行列式按某一行(列)展开定理计算行列式; 5. 利用数学归纳法计算行列式; 6. 利用递推公式计算行列式; 7. 利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式; 8. 利用加边法计算行列式; 9. 综合运