文档介绍：什么是线性代数中的合同? 惯性定律? “合同”是矩阵之间的一种关系。两个 n阶方阵 A与 B叫做合同的,是说存在一个满秩 n阶方阵 P,使得 P′ AP = B.“合同”这种关系,是一种“等价关系”。按照它可以对 n阶方阵的全体进行分类。对于 n阶实对称矩阵而言,线性代数中有两个结果。①每个 n阶实对称矩阵,都一定与实对角矩阵合同,并且此时 P也是实的。②对于一个 n阶实对称矩阵 A,与它合同的实对角矩阵当然不只一个,(相应的 P也变化)。但是这些实对角矩阵的对角元中,正数的个数是一定的(叫A的正惯性指数),负数的个数也是一定的(叫 A的负惯性指数)。结果②就是“惯性定理”。一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于 ?不对,反例: 1221 只有主对角矩阵才能说对角元素全大与 0就正定设M是n阶实系数对称矩阵, 如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有 XMX ′>0 ,就称 M正定(Positive Definite) 。正定矩阵在相合变换下可化为标准型, 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。另一种定义: f(x1,x2, …,xn)=X ′ AX 的矩阵 A(A ′) ,判别正定矩阵有如下方法: 阶对称矩阵 A正定的充分必要条件是 A的 n个特征值全是正数。证明:若,则有∴λ> 0反之,必存在 U使即: A正定由上面的判别正定性的方法,不难得到 A为半正定矩阵的充要条件是: A的特征值全部非负。特征值都在主对角线上运算你知道的吧。行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值,只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的 n行n 列的数表形式了。所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。举个例子: 比如说电视机( 看做一个行列式), 是由很多个小的元件( 行列式中的元素) 构成的,经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机(行列式)。那么这 n*n 个数字是按照什么规则进行运算的呢? 行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和(共有 n! 项) 。(这里面的代数和,表示每个乘积项是带有正负号的,而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断!) 对于行列式的这个概念,仅仅是给出了行列式的一种通用定义,它能用来求特殊行列式(比如三角行列式、对角行列式等) 的值和做一些证明, 而真正要来求行列式的值, 需要依据行列式的性质和展开法则。二、行列式性质行列式的那几条性质其实也很容易记忆。 1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价, 凡是对行成立的, 对列也成立。 2 、互换两行(列),行列式变号。、两行(列)相等,则行列式为 0。 4 、数乘行列式等于该数与行列式某一行(列)所有元素相乘! 5 、两行(列)成比例,则行列式为 0。 6、行列式加法运算: 某一行(列) 每个元素都可以看成两项的和的话, 可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。 7 、某行(列)同乘一个数加到另外一行(列)上,行列式值不变。这7 条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第 7 条性质,一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式(既要会对行使用,也