文档介绍：第四章向量空间
§ 向量空间
§ 向量内积
§ 正交矩阵
的标准正交基
两组标准正交基间的过渡矩阵
正交矩阵及其性质
求标准正交基的方法
精选课件
【注】 1°标准正交基不唯一；
2°特点: 设是的一组标准正交基,
则
例如
定义1 中的 n 个向量满足
(1) 两两正交
(2) 都是单位向量, 即
则称
为
的一组标准正交基.
设
一、的标准正交基
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二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设与是的两组标准
正交基, 令
, 由 到
的过渡矩阵为Q , 即 =  Q , 则
证明：因为  =  Q , 则 T = QTT , 所以
T = QTT Q ,
又因为
与
均为标准正交基,
所以 T = E, T = E,
故
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性质
(1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
(2) Q 为正交矩阵, 则也是正交矩阵 ;
(3) 若P, Q 都是n阶正交矩阵, 则PQ 也是n阶正交矩阵;
定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足
称 Q 为正交矩阵.
则
如果 , 则Q 为正交矩阵.
进而, 给出等价定义:
(4) Q为正交矩阵, 则
三、正交矩阵及其性质
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1°若和均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交矩阵.
2°若是标准正交基, Q是正交矩阵, 则是标准正交基.
3°若是标准正交基, Q是正交矩阵, 则是标准正交基 .
小结：设
定理设
, 则
为正交矩阵
为的一组标准正交基.
列向量组
为的一组标准正交基.
行向量组
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例1 设是的一组标准正交基, 证明
是一组标准正交基 .
证明：设
则
且
即 Q 为正交矩阵,
所以
是一组标准正交基 .
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例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( )
(1) A－1为正交矩阵；
(2) A* 为正交矩阵；
(3) AB 为正交矩阵；
(4) A+B 为正交矩阵。
答：(4)不正确。
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例3 设
设三维向量的长度
||  ||＝8, 则|| P ||＝？
【注】设 ,  为n维向量, 在n阶正交矩阵A的作用下
||A|| = || || , 且T  = (A)T (A) .
向量 在正交矩阵A作用下变为A 称为正交变换.
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四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法
设
是 Rn 中一组给定的基,
令
即
…… ,
则是与等价且两两正交的向量组.
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2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：
1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组;
2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
例4 已知是的一组基，

将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
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