文档介绍：§§ 复变函数复变函数的的积分积分
一、定义
1. fz()有定义
n
f(z)dz=∆limfz()ξkk
∫l max0∆→z ∑
AB k k =1
fz()—被积函数, l —积分路径
注:凡无重点的曲线为简单曲线或Jordan曲线,具有
连续转动切线的简单曲线称为光滑曲线,由有限条光
滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线简单折线是
分段光滑曲线。
二、存在条件
n
∵ f(z)dz=∆limfz()z kk
∫l n→∞∑
k =1
∆→zk 0
令
zk=ξηk+ik, ∆zk=∆xkk+∆iy
则 f(zk)=u(ξk,ηk)+iν(ξk,)ηνk=+uikk
nn
limf(ξνk)∆zk=lim(uk+ik)()∆xkk+∆iy
nn→∞∑∑→∞
kk==11
zk →0∆→xk 0
∆→yk 0
n
=lim[(uk∆xk−ννk∆yk)+i()k∆xk+∆uykk]
n→∞∑
k=1
∆→xk 0
∆→yk 0
即
f()zdz=udx−ννdy++idxudy
∫ l∫∫ ll
实积分存在则 f()zdz 存在。
∫ l
条件(1) l分段光滑;
(2) fz() 在l上连续
三、性质
nn
1. Cf(z)dz=Cf()zdz
∫∫ll∑∑ukkk
kk==11

l=l12++llLn
n 用积分定义证
则f(z)dz=f()zdz
∫∫ ll∑
k=1k
(z)dz=− f()zdz
∫∫ ll
ABBA
f(z)dz≤⋅f()zdz
4. ∫∫ ll
或 f()zds
∫l 用积分定义和
22
其中 ds=dz=+dxdy 公式
()zdz≤⋅MS
∫l
M−l上maxfz()
Sl−的长度
例:试证 z3
lim dZ=0
r→0 ∫ zr= 1+z
[证]:设 r < 1
则
z3zr342π
dz≤dz ≤r→0→ 0
∫∫z==r1+z2zr11+−zr22
四、计算方法
:
① dz=→? l: zz
∫ l 0 n
∵fl()1= ∴ fzk =1
n
dz=−lim1 ()zzkk−1
∫l n→∞∑
k=1
∆zk
n
=lim [z1−zz0+2−z1++zn−1−zn−−21+−zznn]
n→∞∑ L
k=1
∆zk→0
=−zzn0
②
zdz=−? l:zz0
∫ l n
f(z)=z ∆zk=−zzkk−1
注意
z k 是[zzkk−1, ] 上任意一点
若选
z kk= z −1
n
则 zdz=lim[zk−−11⋅()zk−=zAkn]
∫ l n→∞∑
k=1
∆→zk0
n
若选 z =z 则
kk zdz=Bn=−lim[zk()zzkk−1 ]
∫ l n→∞∑
k=1
∆→zk 0
n
∴1122
zdz=(An+Bn)=−lim zzkk−1
∫ l n→∞∑û
22k=1
∆→zk 0
1
=limz2−z2+z2−z2++−zz22
2 û10211Lnn−
1
=−()zz22
2 n0
由此二例看出,牛顿莱布尼兹公式成立?

∵ f()zdz=udx−ννdy++idxudy
∫ l∫∫ ll
∴只要计算二实线积分即可
注意:
①此公式可这
样记:
f(z)dz=(u++iv)()dxidy
∫∫ ll
=[udx−ννdy++i()dxudy ]
∫ l
②问:udx−ννdy=−udxdy
∫ l∫∫ ll