文档介绍：§2 Bessel函数的性质
一、母函数关系式
x(t-)1 ¥
2 t n
e= å Jn()xt (*)
n=¥-
思路
x(t-)1 ¥
①设 2 t n则由展系数公式有
e= åCn()xt
n=¥-
x(t-)1
1 e2 t 若
C==òdtJx()
nn2πiÑltn+1
则得证,但目前 Jxn()积分式不知
¥ zk
②用指数函数的展开式 ezz =å , <¥
k=0 k!
和绝对收敛级数可逐项相乘的性质证
l
xt¥
2 1 æöxxæö
证明:∵ e=å ç÷t, ç÷ tt <¥即<¥
l=0 l!èø22èø
m
-x¥
2t1 æöxxæö
et=å ç÷-ç÷ -0 <¥>
m=0m!èø22ttèø
lmm lm+
x1 x x ¥¥¥¥
(t-) t - 1æxtö1æxxö(-1) æö lm-
∴e2 t=e2 ×et2t =åç÷×=åç- ÷åå ç÷
l=0l!è2øm=0m!è2tølm==00lm!!2èø
令 l- mn= ,则 l=+mn
¥¥¥¥
于是å®å®®åå
l=0m+n=0n=--mn=¥
m (**)
xt-1¥¥¥
2(t) (-1) xm+nnn
∴e==ååå2tJn()xt
n=-¥mn=0-(m+nn)!!2 =¥
x1
(t-) ix sin θ
11ee2 t
问:① J()x==òòdtiediθθ
n 22ππiÑÑltn+1 iet=1 in(+1)θ
1 π
∴J()x=òedi(xnsinθθ-)θ或
n 2π-π
1π
J(x)=òcos(xsinθ-)ndθθ
n π0
问:② Jxn ()的微分式?
答:无,∵ L 展系无微分式
问:③ Jν(xn)()ν¹ 有母函关系吗?
答:无
二、递推公式
1.ìdνν
éùxJ(x)=xJx() (1)
ïdx ëûνν-1
í
d
ïéùx--ννJ(x)=-xJx() (2)
îïdx ëûνν+1
思路:
①用母函关系证:
答:No!∵只适于ν=n
②用积分式证?
No!∵它来源于母函,ν. =n
③用级数表示证?
[分析]:欲证(2),即要证
21k++ν
¥ k
-ν(-1) æöx
左边=-xå ç÷
k=0 kk!G(ν++2)2èø
d
[证明]: éùx-ν Jx()
dx ëûν
2k+ν
¥ (-1) k x
∵æö
Jxν()=å ç÷
k=0 kk!G(ν++1)2èø
2k+ν
¥ k
d (-1)1æö 2k
= å ç÷ x
dxk=0 kk!G(ν++1)2èø
2k+ν
¥k
(-1)×21k æö 2k-1
=å ç÷ x
k=1 kk!G(ν++1)2èø
2k+ν-1
¥ k
(-1) æöx -ν
=×å ç÷ x
k=0 (kk-1)!G(ν++1)2èø
令k-1=l
21l++ν
¥ l+1
(-1) æöx -ν
=×å ç÷ x
l=0 ll!G(ν++2)2èø
-ν
= -xJxν+1()
应用:
①为派生出其他递推公式
ν1νν-1
由(1)→ xJν(x)+=νxJνν(x)xJx-1 ()(1)¢
¢ 1
(1):× i xJ¢(x)+=νJ(x)xJx()
x v ­1 v νν-1 (3)
-ν1-νν-1-
由(2)→ xJν(x)-νxJνν(x)= -xJx+1()(2)¢
1
(2):¢ × xJ¢(x)-νJ(x)=-xJx()(4)
xν-