文档介绍：§ 正交曲线坐标系
一、正交曲线坐标系
由三族互相正交的曲面而定义的坐标系。
1. 柱坐标(ρ,ϕ,z)
P(ρ,ϕ,z)
ìρ= x2 + y 2 ìx = ρ cosϕ
ï ï
ï ­1 y íy = ρ sinϕ
íϕ= tg ï
ï x îz = z ρ
ïz = z ϕ
î
式中 0 £ ρ< ¥ , ­ ¥ < ϕ< ¥ , ­ ¥ < z < ¥
2 球坐标系(r,θ,ϕ)
ìx = r sinθ cosϕ
ï P(r,θ,ϕ)
íy = r sinθ sinϕ
ï
îz = r cosθ
ì 2 2 2
ïr = x + y + z θ
ï 2 2
ï ­1 x + y
íθ= tg
ï z ϕ
ï y
ϕ= tg ­1
îï x
式中 0 £ r < ¥ , 0 <θ< π, ­ ¥ < ϕ< ¥
二、坐标系的选择
应该选择边界面和坐标面重合的坐标系
例如:
边界:长方形球圆柱圆锥
坐标系:直角坐标球坐标柱坐标球坐标
三、正交曲线坐标系中的 Du
1、在柱坐标系中
¶u ¶u ¶x ¶u ¶y
= +
¶ρ¶x ¶ρ¶y ¶ρ
¶u ¶u
= cosϕ+ sinϕ<1>
¶x ¶y
¶ 2u ¶ 2u ¶x ¶ 2u ¶y
= ( + ) cosϕ
¶ρ 2 ¶x2 ¶ρ¶x¶y ¶ρ
¶ 2u ¶x ¶ 2u ¶y
+ ( + )sinϕ
¶x¶y ¶ρ¶y 2 ¶ρ
¶ 2u ¶ 2u
= cos 2 ϕ+ 2 sinϕ cosϕ
¶x 2 ¶x¶y
¶ 2u
+ sin 2 ϕ
¶y 2 <2>
类似可得:
¶u ¶u ¶u
= ­ ρ sinϕ+ ρ cosϕ
¶ϕ¶x ¶y
¶ 2u ¶2u ¶2u
= ρ 2 sin 2 ϕ­ 2ρ 2 sinϕ cosϕ
¶ϕ 2 ¶x2 ¶x¶y
¶2u ¶u ¶u
+ ρ 2 cos 2 ϕ­ ρ( cosϕ+ sinϕ)
¶y 2 ¶x ¶y
将上式乘1/ ρ再加上式< 2 >
得:
¶ 2u 1 ¶ 2u ¶ 2u ¶ 2u 1 ¶u ¶u
­ = + ­ ( cosϕ+ sinϕ)
¶ρ 2 ρ 2 ¶ϕ 2 ¶x2 ¶y 2 ρ¶x ¶y
将上式加上¶2u / ¶z2再将式<