文档介绍：第三章无穷级数习题课
一、小。结见书
二、展:开
1 ¥
1- z k
=泰勒展开,期预结果:奇åakz,|zz|<=1(1)为
k=0
方法一:若利用已知级数
1
则当ez1- z||<1
¥
k
1 å z2 k
e1- z=eek=0 =1+z+zz+¼¼+
2 k
= e × e z × e z × ¼ ¼ e z × × ×
¥ z k ¥ z 2 m
= e × å × å × × ×
k = 0 k ! m = 0 m !
方法二:直接用公式:
1
f(z)==e1-z,fe(0)
1
f¢¢(z)=e1-z×1 ,\=fe(0)
(1-)z2
\=(1-z)2 f¢¢(z)fz()
(1-z)2 f¢¢(z)-2(1-z)f¢¢(z)=fz()
f¢(zz)(3+2)
f¢¢(z)==,fe¢¢(0)3
(1-)z2
......
\f(z)=eéù1+zz++3 2 ...
ëû2!
问:若|z|1=能否这样开展?
,1在=,泰勒展开
¥
k
结果:åak(zz-1),|-1|<¥
k=0
cosz=+cos(zz-11)=cos(-1)cos1-sin(z-1)sin1
¥¥(­­1)kk(1)
=cos1åå(zz­1)2kk­­sin1(1) 21+
kk==002kk!(2+1)!
n
¥nn1+12
éù1+(­1)21+(­­1)(1) n
=åêúcos1+(­­1)sin1(z1)
n=0ëû22!n
2
3. z,z=1, 泰勒展开。
( z+1) 2
¥
k
解:结果:åak (zz-1),|-1|2<
k =0
2 (z+1-1) 2
首先应项分分式: z==+1- 21
(z+1)2(zz++1)22z+1 (1)
¥
11111 kkz-1
∵===å(-1)( )
z++1zz-1221+-122k=0
2
¢
又 11=-éù
(z+1) 2 ëêúz+1û
­1d ¥
= å(­1)k(z­1)k
2dz k=0 2
1¥
=­ å(­1)kk×1(z­1)k­1
2k=0 2 2
1¥
=­ å(­1)n+1n­1(z­1)n
2n=0 2 2
2 1
f (z) =1­ +
z +1 (z +1)2
¥¥kk
(­1)kk(­+1)(k1)
=1­ååkk(zz­1)+­+2 (1)
kk==0022
¥¥kk
(­1)kk(­×1) k
=1­åå4×kk++22(zz­1)+­(1)
kk==0022
¥k
(­1) k
+­åk(z1)
k=02
¥k
k(z­1)
=1­å(­­1)(k3) k+2
k=02
()x满
足如下函数关系式:
¥
x22-(t-)xk
F(x,t)==eåHk(x)tk/!
k=0
(1)把Hxn()表示道为围积分
(2)证明Hxn():满积足厄密分方程
d2HdH
-2x+=20nH
dx2 dx
(3)导出Hxn()的关系式:
dHx()
n=2nH ()x
dx n-1
Hx()
(1)若令 k=a
k! k
¥
x22-(t-)xk
则e=åatk
k=0
22
1 ex-(tx-)
\=aò dt
k 2πi Ñl t k+1
22
n! ex-(tx-)
\H(x)!=a×=nò dt
nn2πiÑltn+1
问无:Hnn(x)有微分式?呢Jx() ?
¥ tk
(2)由F(x,t)=×åHxk() 知:
k=0 k!
欲证此,只要证满F(xt,) 足此方程即可。
k
t 对于变量x相当于常数证,即要:
∵ k!
¶2F¶¶FF
-2xt+=20
¶x2 ¶¶xx
¶Fd22
=ex-(tx-) =×F(x,t)[2x-2(tx