文档介绍：§ Laplace展开定理
利用行列式的依行(列)展开可以把n阶行列式化为n-1阶行列式来处理,这在简化计算以及证明中都有很好的应用。但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k阶行列式来处理,这是必须利用Laplace展开定理。为了说明这个方法,先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义
(k阶子式和它的余子式):
在n阶行列式D中,任意取定k
行或k列(
),设为第
行和第
列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的k阶子式记
为N,则在D中划去这k行k列后,余下的元素按照原来相对位置所构成的n-k阶子式
,称为子式N的余子式。
定义
(代数余子式):N的余子式M附以符号
,即
称为N的代数余子式。
注意:
1、
当k=1时,上面定义的余子式和代数余子式就是§。
2、
M是N的余子式,N便是M的余子式,M、N互为余子式。
写出行列式
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。
二阶子式共有
中取定第一行和
个。
引理:
n阶行列式D的任一个子式N与它的代数余子式
乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项,而且符号也一致。
证明:首先考虑N位于行列式D的左上方(即第1,2,…,
k行和第1,2,…,k列)的情况。这时
D中k阶子式N的余子式
位于右下角,其代数余子式为
N的每一项可写作:
,其中
是1,2,…,
k的一个排列。所以这一项前面所带符号为:
,
中每一项可写为
其中
是k+1,k+2,…,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是:
(或
)。
这两项的乘积是:
所带的符号是:
由于
都比k大,所以上述符号等于
。因此这个乘积
是行列式D中的一项而且符号相同。
现考虑N位于D的第
行,第
列。这里
为了利用前面的结论,我们先把第
行依次与
行对换,这样经过
次对换把第
行换到第1行,再把第
行依次与第
行对换而换到第2行,共经
次对换,如此进行下去,一共经过
次行对换把第
行换到第1,2,…,k行。
利用类似的列变换,可以把N的第
列换到第1,2,
…,k列,这时一共经过
次列变换,把N换到左上角,把M换到右下角。
用
表示经上述行、列变换后得到的新行列式,由于一次行
(列)对换改变行列式的符号,故新、旧行列式之间有如下关系:
由此可知,
和D的展开式中出现的项是一样的,只不过每一
项都相差符号为
现在N位于
的左上角,它的余子式
位于
的右下角,
由第一步知
中的每一项都是
中的一项且符号相同,
故
中每一项都与D中的一项相等且符号一致。

(Laplace定理):设在行列式D中任意取定
行,由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
证明:设D中取定k行后所得的子式为
它的
代数余子式分别为
下证
—(1)
由引理知,
中的每一项都是D中一项而且符号相同,而且
和
无公共项。因此要证明(1)式成立,只要
证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知D中共有
项,
为了计算(1)的右边的项数,先算出t共有多少个。由组合
公式知
因此取出的k阶子式共有
个,而
中共有
项,
中共有
项,故等式(1)的右边的项数共有
计算行列式
解:取定1、4两行,由Laplace定理得
由上例可知,对特殊类型的行列式,Laplace展开能使计算简化,另外,定理还能用于理论证明。
(行列式相乘规则):两个n阶行列式
和
的乘积等于
行列式
,其中
为
中第i行元素与
中第j列对应元素的乘积之和,即
证明:构造一个2n阶行列式
取定前n行,根据Laplace展开得
对
作消法变换,即分别用
乘第1列,第2列,
…,第n列加到第n+1列,用
乘第1列,第2列,