文档介绍：第五章不定积分
第一节不定积分的概念及性质
思考题:
1. 在不定积分的性质中,为何要求?
答:因为时,(任意常数),而不是0.
2. 思考下列问题:
(1) 若,则为何?
答:.
(2) 若的一个原函数为,问为何?
答:
(3)若的一个原函数的,则为何?
答:.
习作题:
1. 已知曲线过点(0,0)且在点()处的切线斜率为,求该曲线方程.
解:依题意,,故,又,故,从而曲线方程为.
2. 计算下列不定积分:
(1), (2), (3), (4),
(5),(6),(7),(8).
解:(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
(7).
(8).
第二节不定积分的积分方法
思考题:
1. 第一换元法(即凑微分法)与第二换元法的区别是什么?
答:第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同,前者将被积函数中的中间变量作为新的积分变量,而后者将原积分变量替换成函数,以作为新的积分变量.
2. 应用分部积分公式的关键是什么?对于积分,一般应按什么样的规律设和?
答:应用分部积分公式的关键是恰当的选择和,对于积分,一般应按如下的规律去设和:
(1)由易求得;(2)应比容易积出.
3. 第二换元法有何规律可寻?
答: 一般地,若被积函数中含有或,则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分;若被积函数中含有,则可令=,将原积分化为有理函数的积分.
习作题
1. 计算下列积分:
(1), (2), (3),
(4), (5), (6),
(7), (8), (9),
(10), (11), (12).
解:(1).
(2)
=
=
=.
(3)
=.
(4).
(5).
(6).
(7).
(8).
(9)