文档介绍：第八章不定积分
1 基本积分公式与换元积分法
例1 求下列不定积分:
(1); (2)
解(1)由于
,
因此得到
(2)解法一由于
,
因此有
解法二利用换元积分法,令,则,,于是有
说明第(2)题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时(如求),处理起来不会增加任何困难;但若仍用解法一去计算,那将是十分繁琐的;更何况当不定积分变为,a为任意实数时,只能用解法二来计算。
注意第(2)题的两种解法所得结果在形式上虽不相同,但它们之间至多相差一个常数,可被容纳在积分常数C之内。
例2 用第一换元积分法求下列不定积分:
(1); (2);
(3); (4)
解(1)
(2)
(3)
(4)
= (令)
注由第(2)题看到,三角函数的积化和、差公式在不定积分计算中起着关键性的作用。
例3 用第二换元积分法求下列不定积分:
(1); (2);
(3)
解(1)令设,于是
(2)解法一令,于是
解法二利用已知的不定积分
借助第一换元积分法,可得
(3)由于
,
因此若令,则有
于是
说明在使用第二换元积分公式
时,为保证和的存在,要求,为此应指出t的合适范围,这正如本例(1)与(2)的解法一中指出的
例4 试用多种解法求不定积分
解法一令,于是
因而
解法二令,于是
因而
注这里借助教材上册第185页上的例8,得到如上结果
解法三令,于是,因而
=
解法四令,于是,因而
=
解法五先把该不定积分变形为:
然后令,并由此解出
, ,
因而
说明本例使用了五种不同的换元法进行计算,其结果在形式上虽不相同,但均可相互转化,选择何种换元方法,应根据被积函数的特征,灵活应付。
2分部积分法与有理函数的积分
例1 求下列不定积分(降幂法):
(1); (2)
解(1)令,于是,因而
(2)
注适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型:
,,
其中为某一n次多项式,对这些不定积分,只须令,(或),每用一次分部积分,便能使多项因子降幂一次;重复使用n次,可使多项式因子降幂成一常数,而剩下的是求(或)的不定积分。
例2 求下列不定积分(升幂法):
(1); (2);
(3)
解(1)令,于是,因而
(2)令,于是,,因而
(3)
,
而
,
从而求得
注适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型:
, (m为正整数)
(及某些或).
在使用分部积分法求上述各类不定积分时,只须令或,,使用每用一次分部积分,多项式因子升幂一次,同时使或降幂,重复这个过程m次,最后化为求一多项式或一有理分式的不定积分。
例3 求下列不定积分(循环法):
(1); (2);
(3)
解(1)由前面问题2已知
,
并由此求得结果(),更一般地,按此法可得
,
,
(参见教材上册第188页例15)
(2)
,
于是得到
(3)
,
同理得到
说明若令,则,即化为题(2)的情形。
注适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型:
, ,
或某些类似于本例(2)、(3)那样的不这积分,这些不定积分经若干次分部积分后,出现形如
的“循环(或“重现”)形式,由此即可求得
例4 求下列不定积分(递推法):
(1); (2),
其中n,m为正整数,并分别用以计算
和
解(1)用“降幂法”计算得
,
这就得到递推公式:
(初值:)
利用此递推公式,易得
(2)用“升幂法”计算得
,
则有递推公式:
(初值:)
利用此递推公式,易得
说明在计算有理函数的不定积分时,有一个重要的递推公式:
(初值) ()
它也是通过分部积分而获得的(见教材上册第193页)。
计算不定积分
解对被积函数R(x)作部分分式分解: