文档介绍：第一章概率论基础知识
1. 事件、概率和概率空间
随机事件的运算和概率
σ代数(域)和 Borel 集
设全集为Ω, F 为一些Ω的子集构成的集类,若 F 满足
1) Ω∈ F
2) 对任意 A∈ F , A ∈ F
对任意有限或至多可数的,
3) {An }⊂ F U An ∈ F
n
则称 F 为一个σ代数(域)
给定一个集合Ω,就可以构造一个包含它的一个σ代数。
推广:给定一个集类C ,可以构造一个C ⊂ F 的一个σ代数 F 。包含 C 的最
小的σ代数,称为由C 生成的σ代数,记作σ(C )。例如设Ω= R ,
C = {}A : A = R 或[a,b)或(−∞,b) 或(a,∞),任意a,b ∈ R
为 R 上的一个集类,σ(C )中的集合称为 Borel 集,σ(C )称为直线上的 Borel
域,记为 B (R) 。
Kolmogorov 概率公理化定义
给定全集Ω和其子集构成的一个σ代数 F ,若定义在 F 上的函数 P(⋅) 满足
1) 任意 A∈ F , 0 ≤ P(A) ≤ 1;
2) P(Ω) = 1;
对任意两两不交的至多可数集, ⎛⎞
3) {An }⊂ F P⎜U An ⎟= ∑ P(An )
⎝ n ⎠ n
称 P(⋅) 为 F 上的概率测度, (Ω, F, P) 称为概率空间。
1
随机变量的概念
定义:设(Ω, F, P)为一概率空间, X = X (w) 为Ω上的一个实值函数,若对
任意实数 x ,X −1 ((−∞, x))∈ F ,则称 X 为(Ω, F, P)上的一个(实)随机变量。
称 F(x) = P(X < x) = P(X ∈(−∞, x)) = P(X −1 ((−∞, x)))为随机变量 X 的分布
函数。
随机变量实质上是()Ω, F 到(R,B (R)) 上的一个可测映射( 函数) 。记
σ(X ) = {X −1 (B) B ∈ B (R)}⊂ F ,称σ(X ) 为随机变量 X 所生成的σ域。
推广到多维情形,随机向量 T 是到 n n 上的
X = (X 1 , X 2 ,L X n ) (Ω, F ) (R ,B (R ))
n n
一个可测映射。由可测映射在(R ,B (R ))上诱导出一个概率测度 PX :
n −1
∀B ∈ B (R ), PX (B) = P(X (B))
全概率公式和 Bayes 公式
设{Bk }为Ω的一个分割,即{Bk }两两不交且 Bk = Ω。
Uk
全概率公式:
P(A) = ∑ P(A Bk ) ⋅ P(Bk )
k
P(A Bk ) ⋅ P(Bk )
Bayes 公式: P(Bk A) =
∑ P(A Bi ) ⋅ P(Bi )
i
2. 特征函数和母函数
特征函数
T
设 X 为 n 维实随机向量,称φ(w) = Ee jw X 为 X 的特征函数(characteristic
function )。