文档介绍：第二章随机过程的一般概念
随机过程的基本概念和例子
定义 :设(Ω, F, P)为概率空间,T 是某参数集,若对每一个t ∈T , X (t, w)
是该概率空间上的随机变量,则称 X (t, w) 为随机过程(Stochastic Process)。
随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。随机过程 X (t, w) 可
以看成定义在T × Ω上的二元函数,固定 w0 ∈Ω,即对于一个特定的随机试验,
称 X (t, w0 ) 为样本路径(Sample Path),或实现(realization),这是通常所观测到的
过程;另一方面,固定t0 ∈T , X (t0 , w) 是一个随机变量,按某个概率分布随机
取值。
抽象一点:令 T ,即 T 中的元素为 T 为其
R = ∏ R R X t = (xt ,t ∈T) ,B (R )Borel
t∈T
域(插乘σ域),随机过程实质上是(Ω, F ) 到(R T , B (R T ))上的一个可测映射,在
T T
(R ,B (R ))上诱导出一个概率测度 PT :
T
∀B ∈B (R ), PT (B) = P(X T ∈ B)。
一般t 代表的是时间。根据参数集T 的性质,随机过程可以分为两大类:
1) T 为可数集,如T = {0,1,2,L}或T = {L,−1,0,1,L},称为离散参数随机
过程,也称为随机序列;
2) T 为不可数集,如T = {t t ≥ 0}或T = {t −∞< t < ∞},称为连续参数随机
过程。
随机过程 X (t),t ∈T 的取值称为过程所处的状态(State),所有状态的全体称
为状态空间(State Space)。通常以 S 表示随机过程的状态空间。根据状态空间的
特征,一般把随机过程分为两大类:
1) 离散状态,即 X (t) 取一些离散的值;
2) 连续状态,即 X (t) 的取值范围是连续的。
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离散参数离散状态随机过程: Markov 链
连续参数离散状态随机过程: Poisson 过程
离散参数连续状态随机过程: *Markov 序列
连续参数连续状态随机过程: Gauss 过程,Brown 运动
例 :一醉汉在路上行走,以 p 的概率向前迈一步,以 q 的概率向后迈一步,
以 r 的概率在原地不动,p + q + r = 1,选定某个初始时刻,若以 X (n) 记它在 n 时
刻的位置,则 X (n) 就是直线上的随机游动(Random Walk)。
例 :到达总机交换台的电话呼叫次数可以看成为一个 Poisson 过程。
例 :研究某一物种数量,由于环境等一些因素的影响导致物种出生和死亡
的是随机变化的,若以 X (t) 表示在时刻t ≥ 0 时物种总数量, X (t) 为生灭过程
(Birth and Death Process)(满足一定假设)。
例 :英国植物学家 Brown 注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则
运动,这种运动是分子大量随机碰撞的结果,称为 Brow